欧拉函数

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余洋Go 2022-09-26 14:47:57

文章标签 欧拉函数整除费马小定理生成函数 文章分类 虚拟化云计算

欧拉函数

n的正整数中与

n 互质的数的数目。关于形式为

的函数，详见「

欧拉函数(复变函数)」。

n为1至1000的整数时

的值

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数^[1]（totient function，由西尔维斯特所命名）。

例如

，因为1,3,5,7均和8互质。n的同余类所构成的乘法群（即环

的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

历史：欧拉函数与费马小定理编辑

1736年，欧拉证明了费马小定理^[2]：

假若

为质数，

为任意正整数，那么

可被

整除。

然后欧拉予以一般化：

假若与互质，那么可被整除。亦即，。

其中即为欧拉总计函数。如果为质数，那么，因此，有高斯的版本^[3]：

假若为质数，与互质（不是的倍数），那么。

欧拉函数的值编辑

（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。n是质数p的k次幂，

，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数，即是说若m , n互质，

。证明：设A , B , C是跟m , n , mn互质的数的集，据中国剩余定理，

和

可建立双射 (一一对应)的关系。（或者也可以从初等代数角度给出欧拉函数积性的简单证明）因此

的值使用算术基本定理便知，若

则

。

其中

是使得

整除

的最大整数

（这里

）。例如

性质编辑

n的欧拉函数

也是循环群 C _n的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。C _n中每个元素都能生成C _n的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外，C _n的所有子群都具有C _d的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将C _d的生成元个数相加，就将得到C _n的元素总个数：n。也就是说：

d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于

的公式：

其中μ是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

对任何两个互质的正整数a , m（即gcd( a , m ) = 1），

，有

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环

的单位元组成的乘法群

m是质数p时，此式则为：

即费马小定理。

生成函数编辑

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：

。由

( n )生成的狄利克雷级数是：

s )是黎曼ζ函数。推导过程如下：

使用开始时的等式，就得到：

于是

欧拉函数生成的朗贝级数如下：

q |<1的q 收敛。

推导如下：

后者等价于：

欧拉函数的走势编辑

n变大，估计

的值是一件很难的事。当n为质数时，

，但有时

又与n差得很远。

n足够大时，有估计：

n > N (ε)使得

如果考虑比值：

由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似

的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数ε可以被替换为：

就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为：

O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n }中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于

。一个相关的结果是比值

的平均值：

其他与欧拉函数有关的等式编辑

使得
使得

与欧拉函数有关的不等式编辑

，其中n > 2，γ为欧拉-马歇罗尼常数。
，其中n
对整数n > 6，
。
n为质数时，显然有
。对于合数的n，则有：

参考来源编辑

Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4 . 24.3.2节.
Algorithmic Number Theory ,卷1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 , 8.8节，234页.
Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311.
柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001