[HNOI2008]明明的烦恼 （Prüfer编码+质因数分解计算两个阶乘的商）

1005: [HNOI2008]明明的烦恼

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Description

自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣...... 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?

Input

第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1

Output

一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0

Sample Input

3
1
-1
-1

Sample Output

2

HINT

两棵树分别为1-2-3;1-3-2

Source

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该题运用到了树的prufer编码的性质：

  (1)树的prufer编码的实现

        不断 删除树中度数为1的最小序号的点，并输出与其相连的节点的序号  直至树中只有两个节点

  (2)通过观察我们可以发现

        任意一棵n节点的树都可唯一的用长度为n-2的prufer编码表示

        度数为m的节点的序号在prufer编码中出现的次数为m-1

  (3)怎样将prufer编码还原为一棵树？？

        从prufer编码的最前端开始扫描节点，设该节点序号为 u ,寻找不在prufer编码的最小序号且没有被标记的节点 v ，连接   u,v,并标记v，将u从prufer编码中删除。扫描下一节点。

  

 

 

 

该题需要将树转化为prufer编码：

 n为树的节点数，d[ ]为各节点的度数，m为无限制度数的节点数。

则            

所以要求在n-2大小的数组中插入tot各序号，共有

种插法；

在tot各序号排列中，插第一个节点的方法有

种插法；

                           插第二个节点的方法有

种插法；

                                      .........

另外还有m各节点无度数限制，所以它们可任意排列在剩余的n-2-tot的空间中，排列方法总数为

；

 

根据乘法原理：

 

 

然后就要高精度了.....但高精度除法太麻烦了，显而易见的排列组合一定是整数，所以可以进行质因数分解，再做一下相加减。

 

 

关于n!质因数分解有两种方法，第一种暴力分解，这里着重讲第二种。

  若p为质数，则n!可分解为 一个数*

，其中

且

  <n

 

所以 

 

 

 

暴力分解：

1 //模仿CLJ大神写的STL,并学会了各种写代码技巧，长见识了！ 
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstring>
  4 #include<string.h>
  5 #include<algorithm>
  6 #include<cmath>
  7 #include<vector>
  8 using namespace std;
  9 
 10 int n,nolimit=0,tot=0,ans[10005]={0};
 11 
 12 vector<int> prime;
 13 
 14 typedef struct{
 15        int h[400];
 16        void Init(){memset(h,0,sizeof(h));}
 17        
 18        void mul(int x){
 19             for(int i=0;i<prime.size();++i)
 20             while(x%prime[i]==0)
 21             {h[i]++;x/=prime[i];}
 22             }
 23        void div(int x){
 24             for(int i=0;i<prime.size();++i)
 25             while(x%prime[i]==0)
 26             {h[i]--;x/=prime[i];}
 27             }
 28        
 29        }typenum;typenum sum;
 30        
 31 bool Isprime(int x){
 32      int i;
 33      for(i=2;i<=sqrt(x);++i)
 34      if(x%i==0) return 0;
 35      return 1;
 36      }
 37 
 38 void Makeprime(){
 39      for(int i=2;i<=n;++i)
 40      if(Isprime(i)) prime.push_back(i);
 41      return ;
 42      }
 43 
 44 void Init(){
 45      cin>>n;
 46      Makeprime();
 47    //  for(int i=0;i<prime.size();++i)
 48    //  cout<<prime[i]<<"  ";cout<<endl; 
 49      sum.Init();
 50    //  for(int i=0;i<400;++i)
 51    //  cout<<sum.h[i]<<"  ";
 52      int d;
 53      for(int i=1;i<=n;++i)
 54      {
 55        cin>>d;
 56        
 57        for(int i=1;i<d;++i)
 58        sum.div(i);
 59        if(d==-1)nolimit++;///注意 
 60        else tot+=d-1;////注意 
 61              }
 62      }
 63 
 64 void Work(){
 65      if(tot>n-2||(tot!=n-2&&nolimit==0)) {cout<<0<<endl;return ;}
 66      
 67      for(int i=1;i<=n-2;++i)
 68      sum.mul(i);
 69      
 70      for(int i=1;i<=n-2-tot;++i)
 71      sum.div(i);
 72      
 73      for(int i=1;i<=n-2-tot;++i)
 74      sum.mul(nolimit);
 75      
 76      ans[0]=1;
 77      for(int i=0;i<prime.size();++i)
 78      while(sum.h[i]>0)
 79      {
 80        sum.h[i]--;
 81        for(int j=0;j<10000;++j)
 82        ans[j]*=prime[i];
 83        
 84        for(int j=0;j<10000;++j)
 85        if(ans[j]>9)
 86        {ans[j+1]+=ans[j]/10;ans[j]%=10;}
 87                    }
 88      
 89      int i=10000;
 90      while(ans[i]==0) i--;
 91      while(i>=0) cout<<ans[i--];
 92      cout<<endl;
 93      }
 94 
 95 int main()
 96 {
 97     Init();
 98     Work();
 99   //  Print();
100    // system("pause");
101     return 0;
102

 

n!质因数特殊分解：

1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string.h>
 5 #include<cstdlib>
 6 #include<cmath>
 7 #include<fstream>
 8 using namespace std;
 9 //ifstream cin("cin.in");
10  
11 int n,m=0,tot=0,fenmu[1005]={0},fenzi[1005]={0},prime[1005]={0};
12 int ans[10005]={0};
13  
14 void Fenjie(int zz,int a[]){
15      int sum;
16      for(int i=2;i<=zz;++i)
17      if(prime[i])
18      {
19        sum=i;
20        while(sum<=zz)
21        {a[i]+=zz/sum;sum*=i;}
22              }
23      return ;
24      }
25  
26 void Buildprime(){
27      int i,j;
28      for(i=2;i<=1000;++i)
29      {
30        for(j=2;j<=sqrt(i);++j)
31        if(i%j==0) break;     
32        if(j>sqrt(i)) prime[i]=1;//,cout<<i<<"  ";
33              }//cout<<endl;
34      }
35  
36 int main()
37 {
38     cin>>n;
39      
40     Buildprime();
41  
42     for(int i=1;i<=n;++i)
43     {
44       int d;
45       cin>>d;
46       if(d==-1) {m++;continue;}
47       if(d>1) Fenjie(d-1,fenmu);
48       tot+=d-1;
49             }
50      
51     Fenjie(n-2-tot,fenmu);
52     Fenjie(n-2,fenzi);
53      
54     for(int i=1;i<=1000;++i)
55     fenzi[i]-=fenmu[i];
56      
57     ans[0]=1;
58      
59     for(int i=1;i<=1000;++i)
60     while(fenzi[i]>0)
61     {
62       fenzi[i]--;
63       for(int j=0;j<=10000;++j)
64       ans[j]*=i;
65       for(int j=0;j<=10000;++j)
66       if(ans[j]>9)
67       {ans[j+1]+=ans[j]/10;ans[j]%=10;}       
68                      }
69      
70     if(m>0)
71     for(int i=1;i<=n-2-tot;++i)
72     {
73       for(int j=0;j<=10000;++j)
74       ans[j]*=m;
75       for(int j=0;j<=10000;++j)
76       if(ans[j]>9)
77       {
78         ans[j+1]+=ans[j]/10;
79         ans[j]%=10;
80               }
81             }
82      
83     if(tot>n-2||(tot<n-2&&m==0)) {cout<<0<<endl;return 0;}
84      
85     int i=10000;
86     while(ans[i]==0) i--;
87    // if(i<=0) cout<<ans[0];
88     while(i>=0) cout<<ans[i--];
89     cout<<endl;
90      
91    // system("pause");
92     return 0;
93      
94

 

最后还要吐槽一句：八中OJ评测不给力啊，就因为ans数组开小了害我检查了一天的WA。

以下为我自己写的代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ms(a) memset(a,0,sizeof(a))
using namespace std;

const int maxn=1e3;
const int len=1e4;
int prime[maxn];
bool flag[maxn];
int n,tot,m;
int a[maxn],b[maxn],d[maxn];
int ans[maxn];

void get_prime()
{
  int i,j;ms(flag),prime[0]=0;
  for(i=2;i<maxn;i++)
    {
      if(!flag[i])prime[++prime[0]]=i;
      for(j=1;j<=prime[0] && i*prime[j]<maxn;j++)
        {
          flag[i*prime[j]]=1;
          if(i%prime[j]==0)break;
    }
  }
}

void get_fact(int l,int r)
{
  int x,i,j;
  for(x=l;l<=r;x=(++l))
    for(i=1;x>1;i++)if(x%prime[i]==0)
      {
      for(j=0;x%prime[i]==0;x/=prime[i])j++;
      b[i]+=j;
    }
}

void resolve()
{
  int i,j; ms(a),ms(b);
  for(i=2;i<=d[0];i++)
    {
      if(d[i]!=d[i-1])get_fact(d[i-1]+1,d[i]);
      for(j=1;j<=prime[0];j++)a[j]+=b[j];
  }
  get_fact(d[d[0]]+1,n-2);
  for(j=1;j<=prime[0];j++)a[j]=b[j]-a[j];
  ms(b),get_fact(m,m);
  for(j=1;j<=prime[0];j++)a[j]+=b[j]*(n-2-tot);
}

void multi(int x)
{
  int i,last=0;
  for(i=1;i<=ans[0];i++)
    {
      ans[i]=ans[i]*x+last;
      last=ans[i]/len,ans[i]%=len;
  }
  if(last)ans[++ans[0]]=last;
}

int main()
{
  //freopen("1.in","r",stdin);
  
  int i,j;
  get_prime(),scanf("%d",&n);
  for(d[0]=tot=0,i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%d",&j);
      if(j!=-1)tot+=(d[++d[0]]=j-1);
  }
  m=n-d[0],d[++d[0]]=0,d[++d[0]]=n-2-tot;
  sort(d+1,d+d[0]+1);

  resolve();
  
  ans[0]=1,ans[1]=1;
  for(i=1;i<=prime[0];i++)
    for(j=1;j<=a[i];j++)
      multi(prime[i]);
  printf("%d",ans[ans[0]]);
  for(i=ans[0]-1;i>=1;i--)
    printf("%04d",ans[i]);
  return 0;
}