BZOJ 1497 [NOI2006]最大获利最大权闭合子图

原创

myzhy 2022-09-15 12:52:30 博主文章分类：最大流最小割费用流等 ©著作权

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Description

新的技术正冲击着手机通讯市场，对于各大运营商来说，这既是机遇，更是挑战。THU集团旗下的CS&T通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜，需要做太多的准备工作，仅就站址选择一项，就需要完成前期市场研究、站址勘测、最优化等项目。在前期市场调查和站址勘测之后，公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址，而由于这些地址的地理位置差异，在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的，所幸在前期调查之后这些都是已知数据：建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi（1≤i≤N）。另外公司调查得出了所有期望中的用户群，一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci：这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯，公司可以获益Ci。（1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N） THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站（投入成本），为一些用户提供服务并获得收益（获益之和）。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢？（净获利 = 获益之和 - 投入成本之和）

Input

输入文件中第一行有两个正整数N和M 。第二行中有N个整数描述每一个通讯中转站的建立成本，依次为P1, P2, …, PN 。以下M行，第(i + 2)行的三个数Ai, Bi和Ci描述第i个用户群的信息。所有变量的含义可以参见题目描述。

Output

你的程序只要向输出文件输出一个整数，表示公司可以得到的最大净获利。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3

Sample Output

HINT

【样例说明】选择建立1、2、3号中转站，则需要投入成本6，获利为10，因此得到最大收益4。【评分方法】本题没有部分分，你的程序的输出只有和我们的答案完全一致才能获得满分，否则不得分。【数据规模和约定】 80%的数据中：N≤200，M≤1 000。 100%的数据中：N≤5 000，M≤50 000，0≤Ci≤100，0≤Pi≤100。

Source

对于一个客户，如果他要求的两个中转站之间不连通，那么将会损失一定的收益。

求最大的获利可以看作是求最小的损失。

接着成本可以把原来的价值都取负来看。

我们可以把中转站看成两块S，T。。即割C（S，T）

假设S内的中转站都是取的，T内都是不取的；

那么只要删掉不是都在S内的边的获利就好了。

以上其实太跳跃了……

这题的话就是求最大权闭合子图。然后可以证明它和最小割的关系。

可以看一个blog写的还不错

还有胡伯涛最小割那篇论文里面也讲到了，可能更加详细。

剩下就是直接上最大流了……

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int 
    N=5007,
    M=50007,
    MAX=N+M,
    inf=1000000000;
int n,m,Ecnt;
int source,sink;
int gap[MAX],d[MAX],pre[MAX];
int Q[MAX];

struct Edge{
    int next,to,C;
}E[(MAX+(M<<1))<<1];
int head[MAX],cur[MAX];

void add(int u,int v,int w){
    E[Ecnt].next=head[u];
    E[Ecnt].to=v;
    E[Ecnt].C=w;
    head[u]=Ecnt++;
}
void BFS(){
    memset(gap,0,sizeof(gap));
    memset(d,255,sizeof(d));
    d[sink]=0,gap[0]=1;
    int h=0,t=1;
    Q[0]=sink;
    while (h<t){
        int u=Q[h++];
        for (int i=head[u];~i;i=E[i].next){
            int j=E[i].to;
            if (~d[j]) continue;
            d[j]=d[u]+1;
            gap[d[j]]++;
            Q[t++]=j;
        }
    }
}
int ISAP(){
    BFS();

    memcpy(cur,head,sizeof(cur));
    int flow=0,u,Ver=n+m+2;
    u=pre[source]=source;
    while (d[sink]<Ver+1){
        if (u==sink){
            int neck,f=inf;
            for (int i=source;i!=sink;i=E[cur[i]].to)
                if (f>E[cur[i]].C) f=E[cur[i]].C,neck=i;
            for (int i=source;i!=sink;i=E[cur[i]].to)
                E[cur[i]].C-=f,E[cur[i]^1].C+=f;
            flow+=f,u=neck;
        }
        int j;
        for (j=cur[u];~j;j=E[j].next)
            if (E[j].C && d[E[j].to]+1==d[u]) break;
        if (~j){
            cur[u]=j;
            pre[E[j].to]=u;
            u=E[j].to;
        }    else{
            if (!(--gap[d[u]])) break;
            int mind=Ver+1;
            for (int i=head[u];~i;i=E[i].next)
                if (E[i].C && mind>d[E[i].to])
                    cur[u]=i,mind=d[E[i].to];
            d[u]=mind+1;
            gap[d[u]]++;
            u=pre[u];
        }
    }
    return flow;
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    Ecnt=0;
    memset(head,255,sizeof(head));
    
    source=n+m+1;
    sink=n+m+2;
    
    for (int i=1;i<=n;i++)
        add(i,sink,read()),add(sink,i,0);
    int u,v,w,sum=0;
    for (int i=1;i<=m;i++){
        u=read(),v=read(),w=read();
        add(source,n+i,w),add(n+i,source,0);
        
        add(n+i,u,inf),add(u,n+i,0);
        add(n+i,v,inf),add(v,n+i,0);
        sum+=w;
    }
    
    printf("%d\n",sum-ISAP());
    return 0;
}