数支配着宇宙。
——毕达哥拉斯
来源 | 《写给孩子的数学之美》
作者 | 昍爸、昍妈
01
与女儿的八次对话
对话一
我想和女儿一起数一数有多少个积木，我刚开口“1、2、3……”，女儿就打断了我：“爸爸，我们可以两个两个数：2、4、6……这样不是更快吗？我还会 5 个 5 个数：5、10、15……”
对话二
我曾对女儿许下诺言，如果她背满 100 首古诗，我就带她去环球影城玩。某天，在她背完一首古诗后，我问她：“还剩多少首诗，咱们就可以去环球影城了？”没想到她反问我：“昨天还剩几首来着？”我说，23 首。她“狡黠”地答：“那还有 22 首了。”
对话三
我让她算 20 以内的减法，我先问：“14 减 5 等于几？”她回答：“9。”我问她是怎么算的。她说：“14 先减 4，然后再减 1。”我接着问：“15 减 6 等于几？”她很快回答 9。我又问她是怎么算的，她说：“15 比 14 多 1，6 比 5 多 1，所以答案还是 9。”
对话四
晚饭后，我常常带女儿去买面包和牛奶。有一次，我们买了 8 盒大白兔牌牛奶，我问她：“2 盒牛奶 5 元钱，8 盒多少钱？”她回答：“20 元，因为 2 盒 5 元，所以 4 盒 10 元，8 盒就是 20 元。”
对话五
我引导她尝试进行两位数的减法，先问她 14 减 6 等于几，她答 8。我又问她 24 减 6 等于几，她答 18。我再接着问 34 减 6 等于几，她答 28。我继续问 44 减 6 等于几，她答 38。再问 44 减 16 等于几，她答 28。最后，我问 44 减 26 等于几，她答 18。
对话六
我拿了 9 块巧克力，让女儿分给我、昍妈、昍（她哥哥）和她四个人，她给每人分了 2 块后，说：“爸爸，还有一块可以切成 4 份，给每人分 1 份。”
对话七
我跟她玩比大小的游戏。每个人拿两张牌，然后看谁的牌面上的数字之和大。有一次，她拿了 8 和 17，我拿了 12 和 23，她很气馁地说：“爸爸，我不用加就知道你的牌比我的牌大了，因为我的 8 比你的 12 小，我的 17 比你的 23 小。”另一次，她拿了 9 和 34，我拿了 11 和 25，这一次，她欢呼起来：“爸爸，我不用加就知道我的牌比你的牌大，因为你的 11 只比我的 9 大 2，而我的 34 比你的 25 可大不少呢。”
对话八
我们还是玩比大小的游戏，但这次规定谁的两张牌的牌面数字之差小，谁就赢。有一次，她拿了 16 和 25 这两张牌，而我拿了 12 和 35。这时她就欢呼起来：“爸爸，我不减也知道是我赢了，因为我的 16 比你的 12 大，而我的 25 比你的 35 小，所以我的两张牌靠得更近！”
其实，我从这八次对话判定，年仅五岁的她逐渐找到了“数感”这件宝贝，为什么呢？且听我慢慢道来。
02
什么是数感？
顾名思义，数感就是一个人对数的感觉——这经常与直觉关联。学术界普遍认为，数感是一个人理解、关联、连接和使用数的能力，包括：
- 知道数的相对值，能够比较两个数的大小；
- 知道如何使用数做出正确判断；
- 在加、减、乘、除时，知道如何灵活地使用数；
- 知道如何在计数、测量或估算时，制定有用的策略。
人在早年发展起来的强烈数感是学好数学的关键，因为它将数数与数量联系起来，能巩固和完善对“多”和“少”的理解，帮助大家估计数量和测量值，并为更高阶的学习奠定基础。相反，如果缺乏良好的数感，那数学通常学不好。数感在数学学习中所扮演的角色就好比在英语学习中，自然拼读里的音素意识在阅读中扮演的角色。
比如，一个孩子在学习计算 6 加 5 时，如果不能直接从 6 开始往后数 5 个数，而总是需要从 1、2、3、4、5、6 开始数起，然后再数 7、8、9、10、11，那说明这个孩子没有很强的“数感”。
“数感”通常包含三个领域（图 9.1）。
图 9.1
03
数数
数数是将名称与数量联系起来的能力，它帮助我们理解数字系统是如何以 10 个为一组，即以 10 为基数，组织起来的。大多数数学学习困难的人缺乏计数技能。对他们来说，理解和利用数字顺序、跳跃计数和模式（如奇数和偶数）会显得很困难。
数数的方法包括一个一个地数、两个两个数、5 个 5 个数、10 个 10 个数等。在这个过程中，大家可以理解数的相对顺序、奇数和偶数、5 的倍数、10 的倍数等与十进制密切相关的概念。
除了上面的数法，我们还可以增加一些难度，进行下面的训练。
(1) 从 2 开始，以 10 为单位数到 102，再倒数回 2。
(2) 从 1 开始，3 个 3 个数，数到大于 100 为止，再倒数回 1。
(3) 从 3 开始，4 个 4 个数，数到大于 100 为止。
04
比例思维
数学中的比例思维用于思考一个数是另一个数的多少倍，或是几分之一。例如，6 是 3 的多少倍？12 里面有几个 4？中国人口是法国人口的多少倍？
大家可以借助下面的游戏活动和问题训练比例思维。
(1) 用一根绳子测量你的身高，按身高剪断绳子并用它来找出在教室里或家里，还有什么东西和你的身高一样长。
(2) 在一堆积木中寻找是某个积木块 2 倍大的积木块，或寻找是某个积木一半大小的积木块。
(3) 如果你有 12 块比萨，要分给 4 位朋友，每位朋友应该得到多少块比萨？
(4) 3 根铅笔卖 5 元，那 12 根铅笔卖多少钱？
我在开头提到的对话四中的计算大白兔牌牛奶的价格的问题，就需要用最朴素的比例思维进行思考。
05
整体和部分
首先要理解数的一部分是什么。比如，8 是由 7 和 1、6 和 2、5 和 3 以及 4 和 4 组成的。再如，7+3=10，其中部分是 7 和 3，而整体是 10。更进一步，23 是由 2 个十和 3 个一组成的。
其实，刚开始接触分数的时候，我们就是把分数作为一个整体里的相等的部分来理解的。我们也可以通过分数来理解整体和部分的关系，比如
，1 就是整体。
整体等于部分之和，也是欧几里得的名著《几何原本》里的公理之一。所以，整体和部分不仅体现在数，也体现于形。
本章开头提到的对话三和对话六中的例子，就展现了初步的部分和整体观。实际上，小学阶段最重要也最难掌握的一个运算律——乘法分配律，也是源自数的整体和部分之间的关系。
数感从哪里来？
我们的数感是从哪里来的呢？
直觉产生的“数字感”在我们很小的时候就有了。年仅两岁的儿童就可以自信地识别一个、两个或三个物体，然后，我们才能真正理解数数的意义。瑞士心理学家皮亚杰将这种即刻识别一小群物体数量的能力称为“直感”（subitising）。随着心智能力的发展，通常在四岁左右，我们就可以不用数数，就能识别出不超过四个一组的物体数量。
人们认为，即使对于大多数成年人来说，通过“直感”数清的最大数量也就是 5 个。这种技能似乎是基于大脑形成稳定的模式心理图像，并将它们与数字联系起来的一种能力。因此，如果将物体以特定的方式排列，或进行特定的练习和记忆，人们就有可能识别 5 个以上的物体。一个简单的例子是，如果把 6 个点 3 个一排排成两排，就像骰子或扑克牌上的六点图案一样，那人们就可以立即识别出“6 个”。
通常，当眼前呈现超过 5 个对象时，人们就必须使用其他的心理策略。例如，我们可能将一组 6 个对象视为两组 3 个对象——每组 3 个会立即被认出，然后很快（几乎无意识地）被组合成 6 个。在这种策略中，不涉及实际的对象计数，而是使用“部分 - 部分 - 整体”关系和快速的心理加法。也就是说，我们运用了一个数（在这种情况下为数“六”）可以由更小的部分（数“三”）组成，以及“三加三等于六”的知识。这类数学思维在我们开始上学时就已经逐渐形成了，我们应该认真培养这种思维，因为它为理解运算和制定有价值的心算策略奠定了基础。
哪些游戏活动可以促进早期数感的形成呢？
早期的数字活动最好使用可移动的物体，例如筹码、积木和小玩具。大多数人需要具体的经验，将一组物体在物理上分成多个子组，并将小组组合成更大的组。在这“分分合合”的过程中，我们将对数数、比例思维、整体和部分有更为直接的体验。有了这些基本体验之后，更多的静态材料，如“点卡”，会变得非常有用。
点卡就是一侧贴着若干单色点的简单卡片。卡片的设计要素是点的数量和点的排列方式。这些要素的各种组合决定了每张卡片的数学结构，从而决定了它们所引发的数的关系和我们将采取哪种心理策略。
如图 9.2，考虑卡片中的点的排列。每张卡片可能会引发什么样的心理策略？根据难度级别，你会将它们按什么顺序排列？
图 9.2
卡片 A 是经典的对称排列，因此，我们通常无须使用其他心理策略即可立即识别。这可能是最容易处理的 5 个物体的排列方式。
卡片 B 呈现出清晰的 2 和 3 的子组，每个子组都可以立即识别出来。通过练习，几乎所有人都能立即回忆起“二加三等于五”的计算关系。
卡片 C 的线性排列是最有可能提示计数的排列。然而，许多人会在心理上将这些点分成“两个和三个”，正如上一张卡片中一样的两组。我们也可以使用其他策略，比如看到 2 个点，然后数 3、4、5。
卡片 D 可以称为随机排列，尽管实际上这些点是经过精心组织的，以促进分组的心理活动。子组的形成方式有很多种，没有任何特定方向的提示，所以这张卡片可以被视为本系列中最难的一张。
卡片 E 展示了一种鼓励使用“四加一等于五”的子组排列关系。
游戏对于加强和发展儿童的早期数感非常有用。在玩中学，我们会兴趣满满。上面提到的卡片是比较传统的一种点卡，现在市面上比这更好玩的数学游戏有很多，大家可以自己找出来玩。
我们一旦对最多为 10 的数形成了基本的数感，就需要发展强烈的“十感”作为位值和心算的基础。下面的十帧矩形框可以有效起到这一作用。
十帧是 2×5 的矩形框，其中放置了筹码来表示小于或等于 10 的数，因此，这个游戏对在 10 的范围内发展数感非常有用。筹码的各种排列方式提示我们要对计数这些点采取不同的心理策略，并展现了 10 以内的数与 10 的关系。
如图 9.3，观察下面的三个十帧，图中显示了哪些数？筹码的特殊排列使你思考的数是什么？关于每个数与 10 的关系，你能说出什么？
图 9.3
框 A：有 5 个筹码；通过查看帧两端的簇，或者查看顶部和底部行中的数，也许可以将其视为“三个和两个”的子组。
框 B：同样有 5 个筹码；可以视为“顶行三个、底部三个”，或“四加一”，或“二加二加一”。值得注意的是，框架里还剩下 5 个空盒子，其整体形状与满盒子的整体形状相似，这促使我们意识到“五加五等于十”。
框 C：这种安排有力地说明了“五加五等于十”的思想。它还暗示了，10 的一半是 5 的想法。如果在没有提前说明这是“十帧”的情况下，即使呈现了 5 个筹码，这种想法也不会即刻产生。
“十帧”游戏促使我们从“与 10 的关系”自动思考小于 10 的数的特点，并建立起关于数 10 的基本加法和减法的概念——这是心算的一个组成部分。例如，当一个 6 岁的孩子看见图 9.4 中的十帧时，就会说：“一共有 8 个点，因为缺少 2 个。”
图 9.4
“十”当然是以 10 为基础的计数系统的组成部分。幼儿通常早在了解每个数的所在位置对其数值的影响之前，就可以“阅读”两位数了。例如，一个 5 岁的孩子或许能够正确地将 62 读为六十二，将 26 读为二十六，甚至知道哪个数更大，但是，孩子或许并不明白为什么这些数具有不同的值。
“十帧”游戏可以通过引入第二帧来提供理解两位数的第一步。将第二个框放在第一个框的右侧，然后引入数字卡，这将进一步有助于孩子理解“位值”（图 9.5）。
图 9.5
我最初跟女儿探讨减法的时候，比如 26 减 8，就需要把十位的 2 画为 2 组 10 个圈（图 9.6），把个位的 6 单独画成一组 6 个圈，然后她会从 26 个圈里面划掉 8 个，剩下 18 个。
图 9.6
不过，仅是如此，她只是知道了减法的含义，距离理解位值依旧“任重道远”。然而，孩子只有理解了位值概念，才能在小学低年级把算理学明白。曾有人问我，他家娃发明了一个计算方法：三位数
这算不算是对位值原理的拓展？我说，这当然算啦！
那么，我们如何探索位值背后的理念呢？
交换，是支撑位值概念的关键之一，也是数学中的一个强大概念。它在数感的早期发展阶段中，以及所有使用四则运算进行的计算中，都起到了重要作用。但是，它也能用于更复杂的环境，例如代数替换和递归函数。幸运的是，我们不必担心在早期的数学学习中碰到复杂的内容，在简单的层面上使用这些概念，可以为未来的数学学习奠定基础。
补偿，是玩数字的能力。如果 5+5=10，则 6+5 必须是 11，因为 6 比 5 大 1，因此 6+5 的和必须比 10 大 1。或者，如果 5+5=10，则 6+4 也必须等于 10，因为 4 比 5 小 1，而 6 比 5 大 1。这其实是一个复杂的技能，很多幼儿园的小朋友还没有准备好，但有些孩子可能会很早就开始使用补偿技能。到了年纪稍大一点儿的时候，我们就可以把这种能力用于计算 99 加 101 或 452 减 299 这种稍微复杂一点儿的问题上了。
当然，数感的培养需要贯穿整个小学的数学学习阶段，到了后期，特别是数与数的关系以及估算能力，会显得尤为重要。前面提到的对话三和对话五中的例子，就是初步运用了补偿来进行计算，这说明孩子对位值有了些朦胧的概念。而对话七和对话八中的例子，就需要孩子初步具有分析数与数之间相对大小关系，以及利用这种关系来进行估算的能力。
为了获得比较准确的估算结果，需要综合考虑多种因素的影响。比如估算 93×196，如果我们直接用 100×200 作为估算结果，则误差接近 10%，这是因为我们同时高估了被乘数和乘数，而乘法本身会放大这种高估。相反，如果我们用 90×200 作为估算结果，则误差就小得多，这是因为我们低估了被乘数，但高估了乘数，从某种意义上讲，也算是运用了补偿。
位值的概念是另一个“重头戏”。我们在学多位数乘法的时候，可能只是照葫芦画瓢地去算，对背后的算理并没有过多地探究。多位数的乘法，实际体现了分配律和位值制的结合，只有在对位值概念有了比较深入的理解后，才能理解乘法竖式的内涵。比如
可以直观地表示为图 9.7 的形式。
图 9.7
我们学的乘法竖式如图 9.8 左图所示。实际上，根据图 9.7 所示，图 9.8 左边的竖式乘法是图 9.8 右图的简化表示。这种随意分拆和组合数的能力，是数感的一种外在表现。
图 9.8
01
《写给孩子的数学之美》
作者：昍爸、昍妈
数学之美是什么？数学之美在哪里？学会欣赏数学的美，才能真正理解数学
展现数学均衡有序的思维之美、简洁精确的逻辑之美、度量万物的直观之美、探索奥秘的创造之美
本书从孩子们感兴趣的数学知识出发，以代数（数论）和几何为基本知识点，阐述了运算、逻辑、证明、归纳、类比、递归、数形关联等简单、实用而经典的数学思维，向读者们展现数学丰富多变的形式之美、简洁精确的逻辑之美、数形结合的奇妙之美、解答万物奥秘的创造之美。
作者力图以孩子们能读懂、能理解、感兴趣的语言和形式，展现数学的非凡魅力，同时拓展读书的知识面，引领大家学会思考，喜爱思考，让数学成为知识的宝库和攀登思维高度的阶梯。
02
《数学的雨伞下》
作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
惊讶！是思考的起点；
数学，是理解世界本质与万物关联的工具！
以数学为起点，以思考为快乐！
法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。
数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。
科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。
以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。
