数论定理：

1~n内的质数个数:nln(n)(实际偏小,越趋近于+∞越准确,估计复杂度是够的)

约数个数定理

定义g(x),为x的约数个数
对于一个数i，可分解成若干质数幂次的乘积，即

i=prime[1]a∗prime[2]b∗.....

g(i)=(a+1)∗(b+1)∗......

整除的基本性质

a|b b|c   =>   a|c
a|b a|c   =>   a|bc
a|b a|c   =>   a|ib±jc   (a|b,c的线性组合)
a|b b|a   =>   a=±b

a=ib±c => 公因子(a,b)=公因子(b,c)

  • 证明
  • 假设d为b,c的公因子,即d|b,d|c
  • 则 d | ib±c=a,即d|a
  • 由d|b得 d=公因子(a,b)=公因子(b,c)
  • 反之,如果d是a,b的公因数,也能证出d是b,c的公因数

互素性质

a与b,c同时互素=>a与b∗c互素

p为素数且p|a∗b=>p|a  or  p|b

a∗b|c  and  gcd(a,c)=1=>b|c

gcd(ak,b)=1  {k>=1}=>gcd(a,b)=1

a≡1(modb)=>gcd(a,b)=1

算术基本定理

  • 任何一个大于1的自然数n,都可以唯一分解成有限个质数的乘积
  • n=pr11∗pr22∗...∗prkk
  • p1<p2<...<pk均为质数,r1,r2,...rk均为正整数

模运算

  • (a+b)  mod  n=(a  mod  n+b  mod  n)  mod  n
  • (a∗b)  mod  n=(a  mod  n∗b  mod  n)  mod  n
  • ab  mod  n=(a  mod  n)b  mod  n
  • 切记 除法运算 不能模运算！！！

欧几里得算法（gcd）

辗转相除

int gcd(int a,int b)
{
    If(b>a) return gcd(b, a);
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

辗转相减（更相减损术/Stein算法）

  • a为偶数,b为奇数 gcd(a,b)=gcd(a/2,b)
  • a为奇数,b为偶数 gcd(a,b)=gcd(a,b/2)
  • a为偶数,b为偶数 gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)
  • a为奇数,b为奇数 gcd(a,b)=gcd(b,a-b) {a>b}
  • （a或b=0 返回另一个值）或（a=b返回a或b）

证明gcd(a,b)=gcd(b,a-b)

a=b+(a-b)=>(a,b)=(b,a-b) {整除性质}

  • 优点：
  • 加法，减法和移位运算，是最基本的运算，时间消耗最小
  • 乘法，除法，取余运算较慢

扩展欧几里得算法（exgcd）

  • 求不定方程a∗x+b∗y=1的一组解的方法
  • 由 a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)=gcd(b,amod b)=b∗x2+[a−⌊a/b⌋∗b]∗y2=a∗y2+b∗(x2−y2∗⌊a/b⌋)
  • =>x1=y2
  • =>y1=x2−y2∗(a / b)

- 用途：

1）求解不定方程；

2）求解模线性方程（线性同余方程）；

3）求解模的逆元；

1)求解不定方程

利用扩展欧几里得算法求解不定方程a∗x+b∗y=n的整数解的求解全过程，步骤如下：

(1)先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a2∗x+b2∗y=n2此时Gcd(a2,b2)=1;

(2)利用扩展欧几里德算法求出方程a2∗x+b2∗y=1的一组整数解x0,y0,则n2∗x0,n2∗y0是方程a2∗x+b2∗y=n2的一组整数解；

(3)根据数论中的相关定理,可得方程a2∗x+b2∗y=n2的所有整数解为：

x=n2∗x0+b2∗t

y=n2∗y0−a2∗t(t=0,1,2，……)

调整得到正整数解.

最小公倍数（lcm）

lcm（a,b）=a∗b/gcd(a,b)

快速幂

其实就是倍增的思想

a1,a2,a4...a2n依次求出来依次求出来

所以快速+幂/乘/加 都可以

ab mod n

  • b and 1 取出二进制下最后一位
  • b shr 1 去掉二进制下最后一位
  • ab=a2n⋅......⋅a16⋅a8⋅a4⋅a2
  • 每次求出a2i,若二进制下该位为1，即有这位对结果的贡献，乘a2i

矩阵乘法求斐波那契数列

[acbd]n

{F[N−1]=a⋅F[N−2]+b⋅F[N−1] F[N]=c⋅F[N−2]+d⋅F[N−1]

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=0b=1c=1d=1
[F[N−1]F[N]]=[0111]⋅[F[N−2]F[N−1]]

[F[N−1]F[N]]=[0111]N−1⋅[F[0]F[1]]

矩阵乘法优化递推式

例如：a[n]=a[n−1]+a[n−2]+5
⎡⎣⎢a[N−1]a[N]1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢110100501⎤⎦⎥⋅⎡⎣⎢a[N−2]a[N−1]1⎤⎦⎥

线性筛

O(N−−√)

我们知道对于一个的他的因子的大小不超过N−−√,所以线性筛预处理,再取模判断即可

O(log2n)

费马小定理:当p为素数时  ap≡a(modp)即ap−1≡1(modp)

我们枚举几个a判断是否成立即可,要求选取的2<a<p,ap(modp)用快速幂处理

欧拉函数

性质

欧拉函数phi(n)等于不超过n且和n互素的整数个数。 互素：两个数的最大公约数为1的数称为互素数。

1. φ(n)表示n以内与n互素(包括1)的数的个数

2. 欧拉定理：若a与n互质，那么有aφ(n)≡1(mod  n)用于求乘法逆元

3. 若p是一个质数，那么φ(p)=p−1，注意φ(1)=1。

4. 积性函数 :

若m与n互质，那么φ(n∗m)=φ(n)∗φ(m)。

n=pk且p为质数，那么φ(n)=pk−p(k−1)=p(k−1)∗(p−1)

5. 当n为奇数时有φ(2∗n)=φ(n)

6. ∑d|n φ(d)=n

7. φ(n)=n∏p为素数且p|np−1p

单个欧拉函数求法：

int euler_phi(int n)
{
    int m=sqrt(n+0.5),ans=n;
    for(int i=2;i<=m;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return

函数表：多个欧拉函数一起求，类似筛选法计算phi(1),phi(2),……phi(n)：

int phi[MM]
void phi_table(int n)
{
    mem(phi,0); phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!phi[i])
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                if(!phi[j]) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
}

求解模方程组

中国剩余定理可以求解模数互质的情况,但我们用其他方式合并。

{x  mod  a1=b1x  mod  a2=b2

{x=a1∗x1+b1x=a2∗y1+b2

得到a1∗x1+b1=a2∗y1+b2

扩展欧几里得求出x1

令b=a1∗x1+b1  a=lcm(a1,a2)

然后我们合并为x  mod  a=b

莫比乌斯函数

性质

对于任意正整数n有：

∑d|nμ(d)={10d=1d>1

对于任意正整数n有:

∑d|nμ(d)d=φ(n)n

O(N)求解1∼n的μ(i)表

int isprime[N],mu[N],prime[N];
int cnt;
void Mobius(int n)
{
    int i,j;
    //Init isprime[N],mu[N],prime[N],全局变量初始为0
    cnt=0;mu[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(!isprime[i]){
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(j=0;j<cnt && i*prime[j]<=n;j++){
            isprime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else {mu[i*prime[j]]=0;break;}
        }
    }
}

求逆元

逆元

它是一个可以取消另一给定元素运算的元素。
对于正整数a和m，如果有a⋅x≡1(mod m)，那么把这个同余方程中x的最小正整数解叫做a模m的逆元。

前提:

求a(modm)意义下的逆元,要求a与m互质,否则不存在乘法逆元

定理

欧拉定理(费马小定理)

欧拉定理：若a与m互质，那么有aφ(m)≡1(mod  m)

方法:

1.欧拉定理

根据欧拉定理 :

aϕ(m)a⋅aϕ(m)−1a−1≡≡≡11aϕ(m)−1(modm)(modm)(modm)

所以aϕ(m)−1为a的逆元

时间复杂度O(n√)即求出单个欧拉函数的值。

2.exgcd

应用exgcd

我们假设a的逆元是x 。

a⋅xa⋅x+m⋅y≡=11(modm)

用exgcd求出x即为a的逆元时间复杂度O(loga)

3.需要线性处理1~n的逆元

更正:本方法需在模数为素数情况下才能使用！！！

我们假设y=a⋅x+b, b<i, 1<x<y

在将这个式子放在mody 意义下

a⋅x+b≡0(mody)

两边同时乘上x−1⋅b−1得到

a⋅b−1+x−1x−1≡≡0−a⋅b−1(mody)(mody)

再将 y=a⋅x+b带入得到

x−1≡−⌊yx⌋⋅(ymodx)−1(mody)

所以我们定义a[i]为x的mody

a[i]=−(y  div  x)∗a[ymodx]

1在模任何意义下逆元都是1

同时也就得到了一种O(logN)级别的递归求单个逆元的方法

由于每次取模,所以每次都相当于折半,复杂度就降到了O(logN)。