行列递增矩阵的查找

题目描述


在一个m行n列的二维数组中，每一行都按照从左到右递增的顺序排列，每一列都按照从上到下递增的顺序排列。现输入这样的一个二维数组和一个整数，请完成一个函数，判断数组中是否含有该整数。例如，给定如图4-1所示的二维数组，它的每一行每一列都递增排序。如果在这个数组中查找数6，则返回true；如果查找数5，则由于该数组不含有数5，返回false。


行列递增矩阵的查找（面试题）_杨氏矩阵


分析与解法


这种行和列分别递增的矩阵，有一个专有名词叫做杨氏矩阵，是由剑桥大学数学家杨表在1900年提出的，而在这个矩阵中的查找俗称杨氏矩阵的查找。

解法一：分治法

以查找数6为例，因为矩阵的行和列都是递增的，所以整个矩阵的对角线上的数也是递增的，故可以在对角线上进行二分查找：如果要找的数的大小介于对角线上相邻的两个数之间，则可以排除掉左上和右下的两个小矩阵，而在左下和右上的两个小矩阵内继续递归查找，如图4-2所示。


行列递增矩阵的查找（面试题）_面试题_02


解法二：定位法

如图 4-3所示，首先直接定位到矩阵中最右上角的元素，如果这个元素比要找的数6大就往左走，比要找的数6小就往下走，直到找到要找的数6为止。这个方法的时间复杂度是O(m +n)。



行列递增矩阵的查找（面试题）_数组_03


代码： 

#define ROW 4
#define COL 4
 
bool YoungMatrix(int array[][COL], int searchKey)
{
     int i = 0, j = COL - 1;
     int var = array[i][j];
     while (true)
     {
         if (var == searchKey)
         {
             return true;
         }
         else if (var < searchKey && i < ROW - 1)
         {
             var = array[++i][j];
         }
         else if (var > searchKey && j > 0)
         {
             var = array[i][--j];
         }
         else
         {
             return false;
         }
     }
}


举一反三

求中位数

给定n×n的实数矩阵，它的每行和每列都是递增的，求这n2个数的中位数。

杨氏矩阵的构成

我们已经知道杨氏矩阵中每行的元素从左到右单调递增，每列的元素从上到下也单调递增。那么，如果给定1～n这n个数，可以构成多少个杨氏矩阵呢？例如，n=4时，可以构成4个矩阵，一个1行4列的矩阵：


行列递增矩阵的查找（面试题）_行列递增矩阵的查找_04