HDU 1695 GCD （容斥原理）

​​HDU 1695​​

题意：求有多少对(x,y), (1<=x<=b,1<=y<=d), 满足gcd(x,y)=k。

题解：注意到gcd(x,y)=k,说明x,y都能被k整除，那么gcd(x/k,y/k)=1,于是本题就可以转化为求在两个区间内寻找有多少对数互质。假设b<=d,我们可以在中枚举数i，对于每一个i，我们只需找到在[1,min( i-1,b/k ) ]中与i互质的个数，最后依次相加就可得到结果。
当i<=b/k时可以用欧拉函数phi( )求与i互质的个数。

当b/k < i <= d/k时，区间中与i互质的个数 = b/k - （区间中与i不互质的个数）。

区间中与i不互质的数则就是i中素因子的倍数，将它们相加则就是答案，但是由于会有重叠部分，比如6既是2的倍数又是3的倍数，此时就可以用容斥原理来求解。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
ll euler[N];
int num[N];
int p[N][20];
void init()//欧拉函数phi() 
{
  euler[1]=1;
  for(int i=2;i<N;i++){
    if(!euler[i]){
      for(int j=i;j<N;j+=i){ //注意是 j+=i 
        if(!euler[j])euler[j]=j;
        euler[j] = euler[j]*(i-1)/i;
        p[j][num[j]++] = i;
        //cout<<"i="<<i<<endl;
      }
    }
    euler[i] += euler[i-1];
  }
  //for(int i=1;i<=10;i++)cout<<euler[i]<<endl;

}
int solve(int b,int n)//区间中与 b 不互质的个数
{
  int ans=0;
  for(int i = 1; i < (1<<num[b]); i++){
    int cnt = 0;
    int m = 1;
    for(int j = 0; j< num[b];j++){
      if((1<<j) & i){
        cnt++;
        m *= p[b][j]; //p[b][j]是质因数 
      }
    }
    //奇加偶减 
    if(cnt & 1) ans += n/m;
    else ans -= n/m;
  }
  return ans;
}
int main()
{
  int t,a,b,c,d;
  int k;
  init();
  //cout<<"finish"<<endl; 
  scanf("%d",&t);
  int cas=1;
  while(t--)
  {
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
    printf("Case %d: ",cas++);
    if(k==0){
      cout<<"0"<<endl;
      continue;
    }
    if(b>d)swap(b,d);
    b /= k;
    d /= k;
    ll ans=euler[b];
    for(int i = b + 1; i <= d;i++){
      ans += b-solve(i,b);
    }
    cout<<ans<<endl;
  }
  return 0;
}
/*
2
1 3 1 5 1
1 11014 1 14409 9
*/