这章讲的就是欧几里得算法和exgcd。
原式: ax+by=gcd(a,b)(假设a≥b)
当 b=0 时有 gcd(a,b)=a,此时 x=1,y=0
当 b 不为 0 时,根据欧几里得定理 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 可得ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx'+(a%b)y',.
即 :
ax+by=bx'+(a%b)y'=bx'+(a−b∗⌊ab⌋)y'
移项得
ax+by=bx'+(a%b)y'=ay'+b(x'−⌊ab⌋y')
根据恒等定理,有
x=y'
y=x'−⌊ab⌋y'

习题解析：

6.1
(a)12345x+67890y=gcd(12345,67890)的一组整数解为x=11，y=−2
(b)54321x+9876y=gcd(54321,9876)的一组整数解为−1645,y=9048

6.2
(a)x=−53+121k,y=46−105k
(b)x=11+4525k,y=−2−823k
(c)x=−1645+3292k,y=9048−18107k

6.3
根据上面的推导，可以得到：

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <cstdio>
typedef long long ll; 
using namespace std;
int x,y,q;
void ex_Eulid(int a,int b){
    if(b==0){
        x=1;y=0;q=a;
    }
    else{
        ex_Eulid(b,a%b);
        double temp=x;
        x=y;y=temp-a/b*y;
    }
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)// 返回a,b的最大公约数  
{  
    if(!a && !b)return -1;  
    if(!b)return x=1,y=0,a;  
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);  
    return y-=a/b*x,d;  
}  
int main() {
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    if(a<b)swap(a,b);
    ex_Eulid(a,b);
    printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);
    return 0;
}

6.4
本问题将二元一次方程拓展到三元的情况，即求 ax+by+cz=1 的整数解。思路就是把一个三元一次方程变成解两个二元一次不定方程，对于该三元一次方程有无整数解的问题，即如果gcd(a,b,c)=1

6.5
思路就是把 ax+by=gcd(a,b) 拓展到 ax+by=k∗gcd(a,b) 的情况，只需要把特解拿出来乘以 k

相同的例题：
CF #7 C. Line （扩展欧几里得）

运用：
（1）求解模的逆元
同余ax≡b(modn)，如果 gcd(a,n)==1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b==1，同余方程就是 ax=1(modn),gcd(a,n)=1。
这时称求出的 x为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax=1(modn)， gcd(a,n)=1 的求解就是求解方程
ax+ny=1，x,y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x。

比如，乘法逆元则是在计算 (a/b)%mod 时，可以转化为( a∗b 的逆元) %mod ，如果b过大，可能需要取余，而 a/(b%mod)%mod

（2）求解模线性方程（线性同余方程）
同余方程 ax≡b(modn) (也就是 ax%n=b) 对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n)|b (也就是b%(gcd(a,n))==0 )。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b(modn) 相当于求解方程 ax+ny=b,(x,y

（3）转化
然而我们要将一些普通的式子转化成类似同余的形式。
比如：
ak=bt+A
那么我们可以变成同余于 b 的式子：
ak≡A(modb)