loj6007「网络流 24 题」方格取数最大点权独立集

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elijahqi 2022-08-08 15:01:31 博主文章分类：网络流 ©著作权

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题目描述

在一个有 m×n m \times n m×n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。

现要从方格中取数，使任意 2 2 2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。
输入格式

文件第 1 1 1 行有 2 2 2 个正整数 m m m 和 n n n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的 m m m 行，每行有 n n n 个正整数，表示棋盘方格中的数。

注意：m m m 是行数，n n n 是列数。
输出格式

输出取数的最大总和。
样例
样例输入

3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1

样例输出

数据范围与提示

1≤n,m≤30 1 \leq n, m \leq 30 1≤n,m≤30

先阐述一下做法然后再试着口胡这题是怎么转化成这个模型的

首先针对原图进行染色相邻的染成不同的颜色然后按照这个颜色构造二分图左边和源点权值为点权，右边和汇点相连，权值为点权如果左右本来有边的话（即他们本来相邻）那么中间连一条权值inf的边

这个模型是怎么转化而来的我们可以考虑题目的要求说的直白一些那就是求最大的点权的独立集

那我可以改成求权值和-最小点权覆盖集考虑原图相邻的两个格子应该都有边那么要求就是我这些边都要被覆盖而且他们两端不能同时被覆盖住这些点恰好组成了原有的边集

需要引入的两个概念：

最小点权覆盖集：满足每一条边的两个端点至少选一个的最小权点集。

最大点权独立集：满足每一条边的两个端点最多选一个的最大权点集。

再来看一遍这个最小点权覆盖集也就是我建图之后的最小割由最小割的定义可知边权不可能存在inf 那么割边一定在左边或者右边也就是我们选取的最小点权覆盖集

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 11000 
using namespace std;
inline char gc(){
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;}
    return *S++; 
}
inline int read(){
    int x=0;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=gc();
    while(ch<='9'&&ch>='0'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();}
    return x;
}
struct node{
    int y,z,next;
}data[N*10];
int dx[]={0,1,-1,0},dy[]={1,0,0,-1},T,num=1,ans,n,m,level[N],h[N];
inline int calc(int x,int y){return (x-1)*n+y;}
inline void insert1(int x,int y,int z){
    data[++num].y=y;data[num].z=z;data[num].next=h[x];h[x]=num;
    data[++num].y=x;data[num].z=0;data[num].next=h[y];h[y]=num;
}
inline bool bfs(){
    queue<int>q;q.push(0);memset(level,0,sizeof(level));level[0]=1;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for (int i=h[x];i;i=data[i].next){
            int y=data[i].y,z=data[i].z;
            if(level[y]||!z) continue;level[y]=level[x]+1;q.push(y);if (y==T) return 1;
        }
    }return 0;
}
inline int dfs(int x,int s){
    if (x==T) return s;int ss=s;
    for (int i=h[x];i;i=data[i].next){
        int y=data[i].y,z=data[i].z;
        if(level[x]+1==level[y]&&z){
            int xx=dfs(y,min(z,s));if(!xx) level[y]=0;s-=xx;
            data[i].z-=xx;data[i^1].z+=xx;if(!s) return ss;
        }
    }return ss-s;
}
int main(){
    freopen("2774.in","r",stdin);
    m=read();n=read();T=n*m+1;int tmp=0,sum=0;
    for (int i=1;i<=m;++i)
        for (int j=1;j<=n;++j){
            tmp=read();sum+=tmp;if ((i+j)%2) {
                insert1(0,calc(i,j),tmp);
                for (int k=0;k<4;++k){
                    int x1=i+dx[k],y1=j+dy[k];
                    if (x1<1||x1>m||y1<1||y1>n) continue;
                    insert1(calc(i,j),calc(x1,y1),inf);
                }
            }else insert1(calc(i,j),T,tmp);

        }
    while(bfs()) ans+=dfs(0,inf);
    printf("%d",sum-ans);
    return 0;
}