小朋友学数据结构（6）：折半查找法

折半查找法又称为二分查找法。
#一、基本思想
假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。
重复以上过程，直到找到满足条件的记录，此时查找成功；或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

#二、时间复杂度
二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2]，则找到x，算法中止；如果x<a[n/2],则只要在数组a的左半部分继续搜索x，如果x>a[n/2]，则只要在数组a的右半部搜索x。
时间复杂度就是求while循环的次数。
假设总共有n个元素，每次查找的区间大小就是n，n/2，n/4，…，n/2^k，其中k就是循环的次数。
由于​​​n/2^k​​​取整后>=1，令​​n/2^k=1​​​， 可得k=log2(n),（以2为底n的对数）。
所以时间复杂度可以表示为O(h)=O(log2(n))

#三、优缺点
优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；
缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。
因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。

#四、C++实现

#include<iostream>
using namespace std;

// 递归实现
int recur_bin_search(int a[], int low, int high, int key)
{
    if(low > high)
    {
        return -1;
    }

    int mid = (low + high) / 2;
    if(key == a[mid])
    {
        return mid;
    }
    else if(key < a[mid])
    {
        return recur_bin_search(a, low, mid - 1, key);
    }
    else
    {
        return recur_bin_search(a, mid + 1, high, key);
    }
}

// 非递归实现
int bin_search(int a[], int n, int key)
{
    int low ,high, mid;
    low = 0;
    high = n - 1;

    while(low <= high)
    {
        mid = (low + high) / 2; // 向下取整
        if(key == a[mid])
        {
            return mid;
        }
        else if(a[mid] < key)
        {
            low = mid + 1;
        }
        else
        {
            high = mid - 1;
        }
    }

    return -1;
}

// 非递归实现，向下取整，等价于bin_search函数
int bin_search_1(int a[], int n, int key)
{
    int mid, low = 0, high = n - 1;    //闭区间[0, n - 1]
    while (low < high)
    {
        mid = low + ((high - low) >> 1); //向下取整
        if (a[mid] < key)
        {
            low = mid + 1;
        }
        else
        {
            high = mid;
        }
    }

    if (a[high] == key)
    {
        return high;
    }

    return -1;
}

// 非递归实现，向上取整
int bin_search_2(int a[], int n, int key)
{
    int mid, low = 0, high = n - 1;//闭区间[0, n - 1]
    while (low < high)
    {
        mid = low + ((high + 1 - low) >> 1);//加1是向上取整
        if (a[mid] <= key)
        {
            low = mid;
        }
        else
        {
            high = mid - 1;
        }
    }

    if (a[low] == key)
    {
        return low;
    }

    return -1;
}


int main()
{
    int a[] = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 60, 70};
    int num = 60;
    int cnt = sizeof(a) / sizeof(int);

    cout << recur_bin_search(a, 0, cnt, num) << endl;
    cout << bin_search_1(a, cnt, num) << endl;
    cout << bin_search_1(a, cnt, num) << endl;
    cout << bin_search_2(a, cnt, num) << endl;

    return 0;
}

运行结果：

6
5
5
6

#五、分析：
（一）为何需要向下取整或向上取整呢？
当数组里的元素数量为奇数时，中间那个元素是固定的。
当数组里的元素数量为偶数时，中间有两个元素，向下取整就是取左边的那个数，向上取整就是取右边的那个数。比如 a[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，3和4都是中间元素，向下取整得到的是3，向上取整得到的是4。

（二）while里要不要加等号

1. 对于bin_search函数，等号是一定要加的
   例1:
   a[] = {10, 20, 30, 40, 50, 60}, key = 20，low = 0, high = 5,
   第一次循环， mid = (0 + 5) / 2 = 2, a[mid] > key, high = mid - 1 = 1
   第二次循环，mid = (0 + 1) / 2 = 0, a[mid] < key, low = mid + 1 = 1
   假如没有等号，即while(low < high)，那么就不能再循环了，得不到正确的结果。
   加了等号之后，即while(low <= high)，
   第三次循环，mid = (1 + 1) / 2 = 1，a[mid] = key，返回下标1。程序结束。
2. 对于bin_search_1与bin_search_2函数，等号是一定不能加的
   以bin_search_1为例，一旦加了等号之后，执行到low = high时, mid = low + (high - low) >> 1 = low
   执行else语句，high = mid = low，陷入死循环。

bin_search_2与bin_search_1道理一样，不能加等号

3. bin_search_1与bin_search_2在while结束后，为何还要用if再判断一次？
   以bin_search_1为例，while循环结束后，有两种情况：要么a[high] = a[mid] = key, 要么a[high] = a[mid] > key。所以还要判断a[high]是否与key相等。
   例2：
   a[ ] = {10, 20, 30, 40, 50, 60}, key = 50，最终high = mid = 4, a[high] = key
   例3：
   a[ ] = {10, 20, 30, 40, 50, 60}, key = 45，最终high = mid = 4, a[high] > key

bin_search_2同理。

4 为何bin_search_1里，low = mid + 1, high = mid?
因为 a[mid] < key，说明key一定处于[mid + 1]和high之间。
反过来则是 a[mid] >= key。则key一定处于位置 low和mid之间。

bin_search_2中同理。