【超详细公式推导】关于交叉熵损失函数（Cross-entropy）和 平方损失（MSE）的区别

Cross-entropy 与 MSE

一、概念区别

1. 均方差损失函数（MSE）
简单来说，均方误差（MSE）的含义是求一个batch中n个样本的n个输出与期望输出的差的平方的平均值、

2. Cross-entropy（交叉熵损失函数)
交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况。
它刻画的是实际输出（概率）与期望输出（概率）的距离，也就是交叉熵的值越小，两个概率分布就越接近。

二、为什么不用MSE（两者区别详解）

2.1 原因 1：交叉熵loss权重更新更快

2.1.1 MSE

比如对于一个神经元（单输入单输出，sigmoid函数）,定义其代价函数为:
$C=\frac{(y-a)^{2}}{2}$

其中 $C$ 是损失， $y$ 是我们期望的输出（真实值 target），$a$ 为神经元的实际输出（输出值）, $z=w x+b，a=\sigma(z)$

在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新 $w$ 和 $b$ ，因此需要计算损失函数对 $w$ 和 $b$

$\frac{\partial C}{\partial w}=(a-y) \sigma^{\prime}(z) x =(a-y)a(1-a)x \approx a \sigma^{\prime}(z)$
$\frac{\partial C}{\partial b}=(a-y) \sigma^{\prime}(z) =(a-y)a(1-a) \approx a \sigma^{\prime}(z)$
（其中 $x$ 和 $y$ 都是已知量，因为网络输入都是以 $（x_i,y_i$）形式输入的，所以上式直接的 “≈” 把 $x$ 和 $y$

而后更新 $w$ 和 $b$ ：

$w = w-\eta \frac{\partial C}{\partial w}=w-\eta a \sigma^{\prime}(z)$

$b = b-\eta \frac{\partial C}{\partial b}=b- \eta a \sigma^{\prime}(z)$

因为sigmoid函数的性质，如图的两端，几近于平坦，导致 $\sigma^{\prime}(z)$ 在 $z$ 取大部分值时会很小，这样会使得 $w$ 和 $b$ 更新非常慢（因为 $\eta a \sigma^{\prime}(z) => 0$

再定量解释如下：
在上式
$\frac{\partial C}{\partial w}=(a-y) \sigma^{\prime}(z) x =(a-y)a(1-a)x \approx a \sigma^{\prime}(z)$
a) 当真实值 $y=1$ ,
若 输出值 $a=1$，则 $\frac{\partial C}{\partial w}=0$

若 输出值 $a=0$，则 $\frac{\partial C}{\partial w}=0$

b) 当真实值 $y=0$ ,
若 输出值 $a=1$，则 $\frac{\partial C}{\partial w}=0$

若 输出值 $a=0$，则 $\frac{\partial C}{\partial w}=0$

也就是平方损失（MSE）的梯度更新很慢，如下图所示

这就带来实际操作的问题。当梯度很小的时候，应该减小步长（否则容易在最优解附近产生来回震荡），但是如果采用 MSE ，当梯度很小的时候，无法知道是离目标很远还是已经在目标附近了。（离目标很近和离目标很远，其梯度都很小）

2.1.2 Cross-entropy

为了克服上述 MSE 不足，引入了categorical_crossentropy（交叉熵损失函数）

1、二分类 Binary Cross-entropy

激活函数为 sigmoid
$f(z)=\frac{1}{1+\exp (-z)}$
损失函数：

$L(\boldsymbol{w})=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \log f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right]$
或者简写成：
$C=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \ln a+\left(1-y_{i}\right) \ln(1-a) \right]$
其中 $z=w x+b，a=\sigma(z)$，$N$

同样求导可得：
$\frac{\partial C}{\partial w_{j}}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(\sigma(z)-y) x_{j}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (a-y)x_{j}$
$\frac{\partial C}{\partial b}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\sigma(z)-y)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (a-y)$

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证明如下：
$\begin{aligned} \frac{\partial C}{\partial w_{j}} &=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{y}{\sigma(z)}-\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)}\right) \frac{\partial \sigma}{\partial w_{j}} \\ &=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{y}{\sigma(z)}-\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)}\right) \sigma^{\prime}(z) x_{j} \\ &=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{\sigma^{\prime}(z) x_{j}}{\sigma(z)(1-\sigma(z))}(\sigma(z)-y) \\ &=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{j}(\sigma(z)-y) \end{aligned}$

其中，$\sigma^{\prime}(z)=\sigma(z)(1-\sigma(z))$

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因此，$w$ 的梯度公式中原来的 $\sigma^{\prime}(z)$ 被消掉了，所以导数中没有 $\sigma^{\prime}(z)$ 这一项，权重的更新是受 $(a-y)$

2、多分类 Categorican Cross-entropy
激活函数为 softmax
$\sigma(\mathbf{z})_{j}=\frac{e^{z_{j}}}{\sum_{k=1}^{K} e^{z_{k}}}$
可以看作是Sigmoid的一般情况，用于多分类问题。

损失函数：
$C = -\sum_{i=1}^{k} {y}_{i} \ln a_{i}$

后续分析类似。

2.1.3 补充 Cross-entropy 的缺点

sigmoid(softmax)+cross-entropy loss 擅长于学习类间的信息，因为它采用了类间竞争机制，它只关心对于正确标签预测概率的准确性，忽略了其他非正确标签的差异，导致学习到的特征比较散。基于这个问题的优化有很多，比如对softmax进行改进，如L-Softmax、SM-Softmax、AM-Softmax等。这些在本篇不展开讨论。

2.2 原因 2：MSE是非凸优化问题而 Cross-entropy 是凸优化问题

2.2.1 MSE

我们从最简单的线性回归开始讨论：
线性回归（回归问题）使用的是平方损失：

$\begin{aligned} {L}_{(\omega, b)}&=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-\omega x_{i}-b\right)^{2} \end{aligned}$

因为这个函数 ${L}_{(\omega, b)}$ 是凸函数，直接求导等于零，即可求出解析解，很简单。但是对于逻辑回归则不行（分类问题）【注意：逻辑回归不是回归！是分类！！】。因为如果逻辑回归也用平方损失作为损失函数，则：

$\begin{aligned} {L}_{(\boldsymbol{w})}&=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-\sigma(z)\right)^{2} \\ &=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-\sigma(\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x})\right)^{2} \\ &=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-\frac{1}{1+e^{-(\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x})}}\right)^{2} \end{aligned}$

其中 $N$ 表示样本数量。

上式是非凸的，不能直接求解析解，而且不宜优化，易陷入局部最优解，即使使用梯度下降也很难得到全局最优解。如下图所示：

2.2.2 Cross-entropy

而，Cross-entropy 计算 loss，则依旧是一个凸优化问题。

以下进行详细说明和推导：

逻辑回归模型进行学习时，给定训练集：$T=\left\{\left(\boldsymbol{x}_{1}, y_{1}\right),\left(\boldsymbol{x}_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(\boldsymbol{x}_{N}, y_{N}\right)\right\}$，其中 $\boldsymbol{x}_{i}=\left[\begin{array}{c}x_{i}^{(1)} \\ x_{i}^{(2)} \\ \vdots \\ x_{i}^{(n)}\end{array}\right] \in \mathbf{R}^{n}, \quad y_{i} \in\{0,1\}$，可以应用 极大似然估计 估计模型参数，从而得到逻辑回归模型。

设：
$P(Y=1 | \boldsymbol{x})=\pi(\boldsymbol{x}), \quad P(Y=0 | \boldsymbol{x})=1-\pi(\boldsymbol{x})$
似然函数：
$\prod_{i=1}^{N}\left[\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{y_{i}}\left[1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}$
对数似然函数为：
$\begin{aligned} L(w) &=\log \left[\prod_{i=1}^{N}\left[\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{y_{i}}\left[1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}\right] \\ &=\sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \log \pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right] \\ &=\sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \log \frac{\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)}{1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)}+\log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right] \\ &=\sum_{i=1}^{N}\left[y_{i}\left(\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x}_{i}\right)-\log \left(1+e^{w \cdot \boldsymbol{x}_{i}}\right)\right] \end{aligned}$
接下来求 $L(w)$ 的极大值，从而得到 $w$

这样一来，问题就变成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题，逻辑回归
中通常的方法就是梯度下降法和拟牛顿法。

极大似然函数是求极大，取个相反数，再对所有 $N$ 个样本取平均，即得到逻辑回归的损失函数：
$\begin{aligned} L(\boldsymbol{w}) &=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[-y_{i} \log \pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)-\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right] \\ &=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \log \pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right] \end{aligned}$

并且这个损失函数 $L(w)$

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以下是直观理解：
$L(\boldsymbol{w})=\left\{\begin{aligned} -\log \left(\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right) & \text { if } y=1 \\ -\log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right) & \text { if } y=0 \end{aligned}\right.$

其中：
$\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)=P(Y=1 | \boldsymbol{x})=\frac{e^{w \cdot \boldsymbol{x}}}{1+e^{\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x}}}=\frac{1}{1+e^{-(\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x})}}$

当类别标签为$y = 1$ 时，越靠近 1 则损失越小；当类别标签为 $y = 0$ 时，越靠近 1

则损失越大.

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三、总结

1. 分类问题，都用 one-hot + Cross-entropy
2. training 过程中，分类问题用 Cross-entropy，回归问题用 mean squared error。
3. training 之后，validation / testing 时，使用 classification error，更直观，而且是我们最关注的指标。（分类错误数量 / 总数）
   即：classification error $=\frac{\text { count of error items }}{\text { count of all items }}$

参考链接：
4. 《李宏毅机器学习》课程中 逻辑回归 一节，: ​李宏毅机器笔记 Logistic Regression（解释 LR 为什么不能用 square error ）.
5. ​​​解析损失函数之categorical_crossentropy loss与 Hinge loss​​​.
6. ​​​神经网络的分类模型 LOSS 函数为什么要用 CROSS ENTROPY​​​.
7. ​交叉熵损失函数.

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题主本硕机械专业，自学转互联网 算法岗成功，获得阿里、字节、美团、华为等 15+ offer
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