【LeetCode】62. 不同路径（动态规划）

相似题目：
​​​LeetCode】63. 不同路径 II（有障碍物时）（动态规划）​​

一、题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

二、解题思路 & 代码（动态规划）

2.1 二维 dp 表 （$O(m∗n)$）

我们令 $dp[i][j]$ 是到达 $i, j$ 最多路径
动态方程：$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$

注意，对于第一行 $dp[0][j]$，或者第一列 $dp[i][0]$，由于都是在边界，所以只能为 1(由于任意点 $i, j$

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1] * n for i in range(m)]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j]
        return dp[-1][-1]

复杂度分析：

1. 时间复杂度：$O(m∗n)$
2. 空间复杂度：$O(m∗n)$

2.2 一维 dp 表（$O(n)$）

形如 $dp[ i ][ j ] = dp[i - 1][ j ]$ (正上方) 或者 $dp[ i ][ j ] = dp[ i ][j - 1]$ (正左侧)
这类问题在二维转一维的时候，可以直接丢弃第一个维度 $i$
即转化为 $dp[ j ] = dp[ j ]$ 或者 $dp[ j ] = dp[ j - 1 ]$，因为不会出现值覆盖的情况
具体可参考:
​​​0-1背包问题详解​​

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        cur = [1] * n
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                cur[j] = cur[j] + cur[j-1]
        return cur[-1]

参考：

1. ​​LeetCode 题解​​