编辑距离 DP

编辑距离

设$A$和$B$是两个字符串。我们要用最少的代价（或者字符操作次数），将字符串$A$转换为字符串$B$。字符操作有三种
1.插入一个字符，所需代价为$x$
2.删除一个字符，所需代价为$y$
3.将一个字符改为另一个字符，即替换，所需代价为$z$
输入$AB$两个字符串，输出代价

思路

删除:可以看做把$A$串最后一个字符删去后不再考虑这个字符 所以$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+x)$
插入:可以看做与$B$串最后一个字符抵消后不再考虑这个字符 所以$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+y)$
替换:可以看做删和加的集合 抵消了$AB$串最后的两个字符 所以$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1])$

代码

ll n,m,p;
char s[maxn],t[maxn];
ll dp[maxn][maxn];//将s换为t所需要的最少次数 

int main(){
  scanf("%s%s",s+1,t+1);
  ll x,y,z;
  scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
  ll n,m;
  n=strlen(s+1);
  m=strlen(t+1);
  ///初始化 
  for(int i=1;i<=m;i++){//此时，s为空，则需添加i个字母，花费i*x 
    dp[0][i]=i*x;
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){//此时，t为空，则需删除i个字母，花费i*y 
    dp[i][0]=i*y;
  }
  //将s[1...i]经过最少次数的操作转化为t[1...j] 
  //在此之前以最小次数k的操作，使得现在的s,t只需再做一次操作或者不做操作
  // 就可以使s[1...i]转换到t[1...j],有三种情况
  //s[1...i]转换为t[1...j-1] 添加 
  //s[1...i-1]转换为t[1...j] 删除 
  //s[1...i-1]转换为t[1...j-1] 替换 
  for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=m;j++){
      dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+y,dp[i][j-1]+x);
      if(s[i]==t[j]){
        dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]);
      }
      else{
        dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+z);
      }
    }
  } 
  printf("%lld\n",dp[n][m]);
}