Z变换详细介绍

Z变换是一种强有力的数学工具，用于分析和设计离散时间信号和系统。它是傅里叶变换和拉普拉斯变换在离散时间域的推广，广泛应用于数字信号处理、控制系统等领域。

定义

离散时间信号$x[n]$的Z变换定义为：
$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}$
其中，$z$是一个复数，$z = re^{j\omega}$，$r$是幅度，$\omega$是相角。

Z变换的基本性质

1. 线性性：
   若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z变换分别为$X_1(z)$和$X_2(z)$，则
   $a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n] \rightarrow a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z)$
2. 时间平移：
   若$x[n]$的Z变换为$X(z)$，则
   $x[n - k] \rightarrow z^{-k} X(z)$
3. 卷积：
   若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z变换分别为$X_1(z)$和$X_2(z)$，则卷积
   $y[n] = x_1[n] * x_2[n] \rightarrow Y(z) = X_1(z) \cdot X_2(z)$
4. 初值定理：
   $x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)$
5. 终值定理：
   $\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z - 1) X(z)$

逆Z变换

逆Z变换用于将频域信号转换回时域信号，定义为：
$x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz$
其中，积分路径$C$是一个包含所有$X(z)$极点的闭合路径。

常用的方法包括：

1. 部分分式展开法：将$X(z)$展开成部分分式，再将每个部分分式逆变换。
2. 幂级数展开法：将$X(z)$展开成幂级数，再根据定义求逆变换。
3. 查表法：利用Z变换对照表进行逆变换。

稳定性和因果性

• 稳定性：系统的Z变换$H(z)$在单位圆内绝对收敛。
• 因果性：系统的Z变换$H(z)$具有所有极点在单位圆内。

Z变换的应用

1. 差分方程求解：
   通过Z变换，将差分方程转换为代数方程，求解后再通过逆Z变换得到时域解。
2. 系统分析：
   分析系统的稳定性、频率响应等。
3. 滤波器设计：
   设计数字滤波器，满足特定频率特性。

代码示例

以下是使用Python和scipy库进行Z变换和逆Z变换的示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import residue, freqz

# 定义差分方程系数
b = [1, -0.5]  # 分子系数
a = [1, -1.5, 0.7]  # 分母系数

# 计算系统的频率响应
w, h = freqz(b, a)

# 绘制频率响应
plt.figure()
plt.plot(w, 20 * np.log10(abs(h)))
plt.title('Frequency response')
plt.xlabel('Frequency [rad/sample]')
plt.ylabel('Amplitude [dB]')
plt.grid()
plt.show()

# 部分分式展开
r, p, k = residue(b, a)
print("Residues:", r)
print("Poles:", p)
print("Direct term:", k)

# 使用逆Z变换求解时域响应（部分分式展开法）
n = np.arange(0, 20)
h = np.zeros_like(n, dtype=np.float64)
for i in range(len(r)):
    h += r[i] * p[i]**n

plt.figure()
plt.stem(n, h, use_line_collection=True)
plt.title('Impulse response')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('h[n]')
plt.grid()
plt.show()

在这个示例中，定义了一个差分方程，通过Z变换分析其频率响应，并通过部分分式展开法计算时域响应。