P2522 [HAOI2011]Problem b(莫比乌斯反演)

P2522 [HAOI2011]Problem b

题意：

给定 $N, M$，求 $1\leq x \leq N$,$1 \leq y \leq M$ 且 $\gcd(x, y)$ 为质数的 $(x, y)$有多少对。

分析：

莫比乌斯反演soul time：
首先说下莫比乌斯函数：
$x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}......p_k^{a_k}$
两种情况：

• 如果存在$a^i>1$那么 mu[x]=0;
• 否则等于$(-1)^{a^1+a^2+....+a^k}$

莫比乌斯反演 有两个形式

• 若$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$则$f(n)=\sum _{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$
• 另一种形式常用若$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$则$f(n)=\sum _{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$

说完这些：我们看题目中的$F(n)$和$f(n)$
$F(n)=\sum _{x=1}^{a} \sum _{y=1}^{b}[n|(x_i,y_i)]$

$f(n)=\sum _{x=1}^{a} \sum _{y=1}^{b}[n=(x_i,y_i)]$

我们通过上面那个莫比乌斯反演得：
通过$F(n)$这个式子我们可以看出他其实等于⌊ $\frac{a}{n} \frac{b}{n}$ ⌋也就是a中n的倍数乘以b中n的倍数。
符合条件：$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$
那么:$f(n)=\sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})F(d)=\sum_{n|d} \mu(\frac{d}{n})⌊ \frac{a}{d} \frac{b}{d} ⌋$
这样f(n)就比较好求了。然后我们在将其转化令$d'={\frac{d}{n}}$ 取值范围是$1~~到~~\frac{d}{n}$
然后替换成$d'$
$f(n)=\sum_{d'} \mu(d')⌊ \frac{a}{nd'} \frac{b}{nd'} ⌋$
$⌊ \frac{a}{nd'} \frac{b}{nd'} ⌋$

bool isprime[maxn];
ll prime[maxn], mu[maxn], cnt;

void get_mo() {
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++) {
        if(!isprime[i]) {
            prime[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] < maxn; j++) {
            isprime[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j]) {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            } else {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i < maxn; i++) {
        mu[i] += mu[i - 1];
    }
}
ll solve(ll a, ll b, ll d) {
    ll sum = 0;
    a = a / d, b = b / d;
    ll minn = min(a, b);
    for(ll l = 1, r; l <= minn; l = r + 1) {
        r = min(a / (a / l), b / (b / l));
        sum += (mu[r] - mu[l - 1]) * (a / l) * (b / l);
    }
    return sum;
}
int main() {
    int t;
    get_mo();
    cin >> t;
    while(t--) {
        ll a, b, d, e, c;
        sf("%lld%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &e, &d);

        pf("%lld\n", solve(b, e, d) - solve(a - 1, e, d) - solve(b, c - 1, d) + solve(a - 1, c - 1, d));
    }
    return 0;
}