NOIP 2018 题解

今天去讲课，讲着讲着发现自己忘怎么做了，脸丢尽了，呜呜呜
​​​铺设道路​​​ 考场上直接上的线段树 ，就是找到最小的，然后递归求解
​​货币系统​​ 将货币排序，如果当前不能被表示，就把它加上，并且把背包的当前值域用它更新到下一个，这样下一个的时候就知道能不能被表示了，复杂度$O(Tna_i)$
​​赛道修建​​ 考虑二分答案，难就难在检验
有一种贪心就是在一棵子树中，尽量多凑成一整条道路，然后保留一条最长的与上面的合并，不妨用 $f_i$表示最长的长度
每次合并子树中的 $f_i$,就是将它们插入 $set$, 然后从第一个开始枚举，然后查 $lowerbound(mid-f_i)$，然后将它们删除
最后在 $set$ 里面取一个最大的作为现在的 $f_u$
​​旅行​​ 暴力枚举断边，然后 $dfs$ 一遍看是不是一棵树，如果是就跟答案比一下
边先按儿子编号排好序，复杂度$O(n^2)$
​​填数游戏​​ 咕咕咕
$50pts$也是可观的分数，但是打表的思想还是要有
​​保卫王国​​ 动态DP，考虑用树剖来维护
首先有 $f_{u,0} = \sum f_{t,1}$, $f_{u,1} =\sum min(f_{t,0}, f_{t,1})$
先不考虑重儿子的转移，令不考虑的为 $f'_{u,0/1}$
$f_{u,0} = f'_{u,0}+f_{son,1}$,$f_{u,1} =f'_{u,1}+min(f_{son,0}, f_{son,1})$
用一个经典的满足结合律的矩阵乘法来转移（加变max，乘变加）
$\binom{f_{u,0}}{f_{u,1}}=\binom{f_{son,0}}{f_{son,1}}*\binom{∞,f'_{u,0}}{f'_{u,1}, f'_{u,1}}$
$=\binom{f_{sson,0}}{f_{sson,1}}*\binom{∞,f''_{u,0}}{f''_{u,1}, f''_{u,1}}\binom{∞,f'_{u,0}}{f'_{u,1}, f'_{u,1}}$
既然满足结合律就可以用线段树维护了
每次修改，先修改本身，再修改链顶，然后由链顶修改它 $fa$的 $f'_{fa,0/1}$
然后继续这样做直到跳到根，复杂度$O(nlog^2n)$