四边形不等式，决策单调性优化 DP

四边形不等式：
任意 $a\le b\le c\le d$，有 $w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)$

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一维 $DP$ 的优化
对于转移方程 $f_i=min(f_j+val(j,i))$
令 $p_i$ 为 $f_i$ 的最优决策点
若 $val$ 满足四边形不等式，则 $f$ 具有决策单调性

证明：
首先 $p_i$ 是最优的
$f_{p_i}+val(p_i,i)\le f_j+val(j,i)...1$
推广到 $i+1$
想要证：$f_{p_i}+val(p_i,i+1)\le f_j+val(j,i+1)$
考虑到
$val(j,i+1)+val(p_i,i)\ge val(j,i)+val(p_i,i+1)$
即
$val(p_i,i+1)-val(p_i,i)\le val(j,i+1)-val(j,i)$
加到 $1$ 式
有 $f_{p_i}+val(p_i,i+1)\le f_j+val(j,i+1)$

如何维护？
考虑一个 $i$ 能作为哪些决策点的最优决策点
我们可以维护一个 $[1,n]$ 的数组，存每一个点的最优决策点
根据决策单调性，我们最后一定能找到一个 $pos$，使得 $pos$ 后面的决策用$i$ 更优
考虑用一个三元组 $(i,l,r)$ 表示 $[l,r]$ 都以 $i$ 为最优决策
每次找到 $pos$ 之后，插入 $(i,pos,n)$ 即可
如何找到 $pos$
更队尾的三元组的 $l$ 比较，如果更优，显然这个三元组没有用
如果不是更优，那么显然转折点在 $(l,r]$ 内，二分这个位置即可
然后队头动态弹掉 $[1,i-1]$ 的决策，取出来的队头就是 $i$ 的决策点了
复杂度 $O(nlog(n))$

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二维 $DP$ 的优化
性质1：对于方程 $f_{l,r}=f_{l,p}+f_{p+1,r}+w(i,j)$
若 $w$ 满足四边形不等式且任意 $a\le b\le c\le d$，$w(a,d)\ge w(b,c)$
那么 $f$ 也满足四边形不等式

证明：
要证 对于任意 $i,j(i<j)$,$f[i][j]+f[i+1][j+1]\le f[i+1][j]+f[i][j+1]$

考虑归纳证明：
令$f[i+1][j]$取得最优值的时候 $k=x$
令$f[i][j+1]$取得最优值的时候 $k=y$
令 $x \le y$
将 $k=x,k=y$代入
$f[i][x]+f[x+1][j]+w(i,j)+f[i+1][y]+f[y+1][j+1]+w(i+1,j+1)$
考虑到 $w(i,j)+w(i+1,j+1)\le w(i,j+1)+w(i+1,j)$
继续替换右边
$f[i+1][x]+f[x+1][j]+w(i+1,j)+f[i][y]+f[y+1][j+1]+w(i,j+1)$
又由归纳假设
$f[i][x]+f[i+1][y]\le f[i+1][x]+f[i][y]$
且 $w(i,j)+w(i+1,j+1)\le w(i+1,j)+w(i,j+1)$
所以 $f[i][j]+f[i+1][j+1]\le f[i+1][j]+f[i][j+1]$
对于 $x>y$ 的情况同理

性质 2：
记 $p[i][j]$ 为 $[i,j]$ 的决策点
若 $f$ 满足四边形不等式，则 $p[i][j-1]\le p[i][j] \le p[i+1][j]$

对于一个决策点 $k\in(i,p]$
有 $f[i][p]+f[i+1][k]\ge f[i][k]+f[i+1][p]$
即 $f[i+1][k]-f[i+1][p]\ge f[i][k]-f[i][p]$
由 $p$ 是最优决策点，又有
$f[i][k]+f[k+1][j]\ge f[i][p]+f[p+1][j]$
想要推广到 $i+1$
有 $f[i+1][k]+f[k+1][j]-(f[i+1][p]+f[p+1][j])=(f[i+1][k]-f[i+1][p])+(f[k+1][j]-f[p+1][j])\ge f[i][k]-f[i][p]+f[k+1][j]-f[p+1][j]\ge 0$
所以对于$f[i+1][j]$，$p$ 比任意 $k\le p[i][j]$ 优，因此 $p[i+1][j]\ge p[i][j]$
另一边同理
所以 $p[i][j-1]\le p[i][j] \le p[i+1][j]$

对每一个贡献求和 $\sum p[i+1][j]-p[i][j-1]=O(n^2)$