【洛谷 P2034】选择数字（单调队列优化dp）

 题目链接：​​选择数字 - 洛谷​​

解题报告：

思路1：

 参考代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<deque>
using namespace std;
const long long Maxn=100000+20,inf=0x3f3f3f3f;
long long a[Maxn],s[Maxn],f[Maxn][2];
deque <long long> q;
long long n,k;
inline long long read()
{
  long long s=0,w=1;
  char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0' && ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
  return s*w;
}
void pop(long long x)
{
  while(1)
  {
    if(q.empty())break;
    if(q.front()>=x-k)break;
    q.pop_front();
  }
}
void push(long long x)
{
  while(1)
  {
    if(q.empty())break;
    long long i=q.back();
    if(f[i][0]-s[i]>=f[x][0]-s[x] && i!=x)break;
    q.pop_back();
  }
  q.push_back(x);
}
int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);
  n=read(),k=read();
  for(long long i=1;i<=n;++i)
  a[i]=read(),s[i]=s[i-1]+a[i];
  
  for(long long i=1;i<=n;++i)
  {
    pop(i);
    push(i-1);
    long long j=q.front();
    f[i][1]=s[i]+f[j][0]-s[j];
    f[i][0]=max(f[i-1][1],f[i-1][0]);
  }
  printf("%lld\n",max(f[n][0],f[n][1]));
  
  return 0;
}

 思路2：（和思路1一样）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,k,sum[100001],dp[100001];

int main(){
    cin>>n>>k;
    LL maxn=-INF,pos,ns;
    for(int x,i=1;i<=n;++i) cin>>x,sum[i]=sum[i-1]+x;
    for(int i=1;i<=k;++i){//前k个是可以直接选的（n==k时有效）
        dp[i]=sum[i];
        if((ns=dp[i-1]-sum[i])>=maxn) maxn=ns,pos=i;
    }
    for(int i=k+1;i<=n;++i){
        if(pos<i-k){//当过期时
            maxn=-INF;//注意所有数组都要是long long的
            for(int j=pos+1;j<=i;++j){//汇编代码友好
                if((ns=dp[j-1]-sum[j])>=maxn){
                    maxn=ns,pos=j;
                }
            }
        } else {
            if((ns=dp[i-1]-sum[i])>=maxn) maxn=ns,pos=i;//寄存器友好（不开O2）
        }
        dp[i]=dp[pos-1]+sum[i]-sum[pos];
    }
    printf("%lld",dp[n]);
    return 0;
}

思路3：（最短路）

因为本题需要在每隔最多k个数字就要放弃一个，所以对于每一个数字i，向它后面的i+1~i+k+1连边，之后设一个超级起点s连向1~k，再将n-k+1~n的节点连向一个超级终点t，之后以s为起点跑最短路，所有阶段权值的总和sum减去s到t的距离就是最后的答案。

由于需要连得边数是O(nk)级别的，并且是一个点向一个区间的点连一条边，因此可以用线段树优化建图，讲连的边数变成O(nlogk)，总的时间复杂度是O(nlognlogn)

思路4：（正难则反，本质还是单调队列）