矩阵秩的公式小结

文章目录

• 矩阵秩的公式

• 说明
• 公式

矩阵秩的公式

说明

• 解释下了公式时,注意矩阵的行数列数
• 由三秩相等原理,向量组的秩往往转换为矩阵的秩来研究

• 线性方程组$\bold{Ax=b}$或$\bold{AX=B}$型方程有解定理$R(\bold{A})\leqslant{R(\bold{A,B})}$
• 等价矩阵同秩
• 转置矩阵同秩
• 秩的定义

公式

1. $R(k\bold{A})=R(\bold{A})$,$(k\neq{0})$
2. $R(\bold{A})$=$R(\bold{A^{T}})$
3. $R(\bold {AB})\leqslant{\min(R(\bold A),R(\bold B))}$
4. $\max(R(\bold{A}),R(\bold{B}))\leqslant{R(\bold{A,B})}\leqslant{R(\bold{A})+R(\bold{B})}$
5. $\max(R(\bold{A}),R(\bold{B}))\leqslant{R\begin{pmatrix}\bold A\\\bold B\end{pmatrix}}\leqslant{R(\bold{A})+R(\bold{B})}$
6. $R(\bold{\bold{A+B}}) \leqslant{R\begin{pmatrix}\bold{A+B}\\\bold B\end{pmatrix}} ={R\begin{pmatrix}\bold A\\\bold B\end{pmatrix}} \leqslant{R(\bold A)+R(\bold B)}$
7. $R(\bold{A^{T}{A}})\leqslant{R(\bold A)}$
8. $R\begin{pmatrix}\bold{A}&\bold{0}\\\bold{0}&\bold{B}\end{pmatrix}$=$R(\bold{A})+R(\bold{B})$
9. 若$|\bold{A}|\neq{0}$,则$R(\bold{AB})$=$R(\bold{BA})=R(\bold{B})$
10. 若$\bold{A}_{m\times{n}}\bold{B}_{n\times{l}}=\bold{0}$,则$R(\bold A)+R(\bold B)\leqslant{n}$