多元函数奇偶性

多元函数奇偶性

多元函数的定义域

• 定义域根据函数的变量数不同,有不同的形式

• 一元函数$y=f(x)$,定义域可以是数集
• 二元函数$z=f(x,y)$,定义域可以是一平面区域,是平面点集
• 三元函数$v=f(x,y,z)$,定义域是一块空间区域,是空间点集
• …
• $n$圆函数,定义域为$n$维点集

自然定义域

• 根据仅根据表达式本身是否有意义来判定定义域

• 比如分式中分母不为0
• 偶次根式内不可为负数
• 对数函数的真数为正数

特定定义域

• 根据实际需要或者认为规定的的区域,比如给定积分区域(积分限)

$n$元函数

• $y$是一个$n$元函数,记为$y=f(x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$

• 其中$x_i$表示函数$f$的第$i$个自变量

奇偶性

• 一般讨论的是关于某个自变量$x_i$的奇偶性
• 设$n$元函数$y=f(x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$,$f$是关于$x_i$的偶函数,则$f(x_1,x_2,\cdots,\large\underline{-x_i}\normalsize,\cdots,x_n)$=$f(x_1,x_2,\cdots,\large\underline{x_i}\normalsize,\cdots,x_n)$
• 若$f$是关于$x_i$的奇函数$f(x_1,x_2,\cdots,\large\underline{-x_i}\normalsize,\cdots,x_n)$=$\large-\normalsize f(x_1,x_2,\cdots,\large\underline{x_i}\normalsize,\cdots,x_n)$

一元函数

• $y=f(x)$

• 若$f(x)$为偶函数:$f(-x)=f(x)$关于$x=0$($y$轴)对称
• 若$f(x)$维奇函数:$f(-x)=-f(x)$,关于$(0,0)$(原点)对称

二元函数

• $z=f(x,y)$

• 以分量$x$为例

• 奇函数:$f(-x,y)=-f(x,y)$,函数关于点$(0,y,0)$对称

• 设$P(x,y,z)$是$f(x,y)$上的点,$z=f(x,y)$,而$f(-x,y)$=$-f(x,y)$=$-z$
• 则$Q(-x,y,-z)$也位于$f(x,y)$上
• $P,Q$两点的位置关系?

• 方法1:

• 显然两个点有相同的$y$轴坐标,从而它们必然同时位于平面$y=y$上
• 并且两个点有互为相反数的$x,y$轴坐标,$P$位于平面$x=x,z=z$两平面交线上,而$Q$位于$x=-x,y=-y$两平面的交线上,这两条交线关于原点(或$y$轴)对称,分别和平面$y=y$所截,得到$P,Q$两点
• 因此$P,Q$两点关于$(0,y,0)$对称

• 方法2:

• 由两点间坐标公式,$(\frac{-x+x}{2},\frac{y+y}{2},\frac{z-z}{2})$=$(0,y,0)$,可知$P,Q$两点关于$M(0,y,0)$对称
• $M$点位于直线$x=0,z=0$上(即$y$轴上)
• 因此$P,Q$两点关于$(0,y,0)$对称

• 因此,函数$f(x,y)$的图形关于$y$轴对称

• 偶函数:$f(-x,y)=f(x,y)$,函数关于平面$x=0$对称

• 设$P(x,y,z)$是$f(x,y)$上的点,$z=f(x,y)$,而$f(-x,y)$=$f(x,y)$=$z$
• 则$Q(-x,y,z)$也位于$f(x,y)$上
• 由中点坐标公式:$P,Q$的中点为$(0,y,z)$,该点属于平面$x=0$
• $P,Q$两点关于$x=0$(即坐标面$yOz$面)对称
• 因此函数$f(x,y)$的图形关于$x=0$面对称

• 分量$y$类似地讨论

小结

• 在一元函数$y=f(x)$中,偶函数是关于直线$(x=0)$对称,而奇函数关于点$(0,0)$,即$x=0,y=0$对称

• 点表示为$(x,y)$

• 在二元函数$z=f(x,y)$中,偶函数是关于面对称,而奇函数关于直线对称

• 点表示为$(x,y,z)$
• 以自变量$x$为例,关于$x$的偶函数图形关于$x=0$面对称,奇函数图形关于$x=0,z=0$,即$y$轴
• 而对于自变量$y$,关于$y$的偶函数图形关于$y=0$面对称,奇函数图形关于$y=0,z=0$,即$y$轴

• 也就是说,对称中心都上升了一个维度,从点到线,从线到面
• 本质上都是两点关于它们的中点对称,分析中点的特点来判断对称中心是什么

结论分析和记忆👺

• 对于一元奇(偶)函数为,自变量轴为$x$轴
• 自变量$x$沿着从原点(或正区间内第一点有定义的$x_0$处)开始,分析曲线变化

• 若$f(x)$是奇函数,$x$向$x$轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相反
• 若$f(x)$是偶函数,$x$向$x$轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相同(对称)

• 对于二元奇(偶)函数,自变量设为$x,y$,分析曲面的变化情况

• 若$f(x,y)$是关于$x$的奇函数,$x$向$x$轴正方向进行的变换情况与负方向的变化情况相反
• 若$f(x,y)$是关于$x$偶函数,$x$向$x$轴正方向进行的变化情况与负方向的变化情况相同(对称)

推广

• 更一般的

• 对于$n$元函数$w=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,视为$n+1$维空间,将写维点的形式:$(x_1,x_2,\cdots,x_n,w)$
• 若$f$关于自变量$x_i$为奇函数(以$i=1$为例),那么$P(x_1,x_2,\cdots,x_n,w)$,$Q(-x_1,x_2,\cdots,x_n,-w)$,其对称中心点为$M(0,x_2,\cdots,x_n,0)$,对称中心为超平面$x_1=0,w=0$;(即令第$i$维自变量取0和最后意味取$0$)
• 若$f$关于自变量$x_i$为偶函数(以$i=1$为例),那么$P(x_1,x_2,\cdots,x_n,w)$,$Q(-x_1,x_2,\cdots,x_n,w)$,其对称中心点为$M(0,x_2,\cdots,x_n,w)$,对称中心为超平面$x_1=0$
• 当$i\neq{1}$时,情形类似

应用和实例

例

• $f(x,y)$=$y{x^2}$,假设$f$的定义域(区域)是关于$x,y$轴对称的区域(比如其自然定义域下)

• 那么显然,$f$关于$y$是奇函数;图形关于$x$轴对称
• 同时$f$是关于$x$的偶函数,图形关于$x=0$平面对称

二元绝对值不等式确定的区域

• $\iint\limits_{D}({|x|+ye^{x^2}})\mathrm{d}\sigma$,$(D:|x|+|y|=1)$
• 二元一次绝对值方程对应的草图

• 对于$g(x,y)=|x|+|y|=1$,前去绝对值

• $|x|=x$,$(x\geqslant{0})$;$|x|=-x$,$(x<0)$
• $|y|=y$,$(y\geqslant{0})$,$|y|=-y$,$(y<0)$

• 得到四个二元一次方程:在平面直角坐标系$xOy$中对应于4条直线段

• $1=\begin{cases} -x-y,&x<0,y<0 \\-x+y &x<0,y\geqslant 0 \\x-y,&x\geqslant 0,y<0 \\x+y,&x\geqslant 0,y\geqslant 0 \end{cases}$

• 四条直线段所在直线分别转换为斜截式:$y=-x-1$;$y=x+1$;$y=-x-1$;$y=1-x$

• 将他们分别绘制,得到一个边长为1的正方形(菱形)