文章目录

  • abstract
  • 运动轨迹和参数方程
  • 引言:简单抛射运动轨道曲线
  • 曲线的参数方程
  • 一般的质点运动轨迹曲线关于时间的表示
  • 一般曲线的参数方程
  • 消参(参数方程转换为普通方程)
  • 参数化(普通放长转换为参数方程)
  • 常见的参数方程


abstract

  • 在平面上建立直角坐标系后.就可以用一个有序数对EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组来表示平面上的一个点.平面上的点按一定规则运动时就形成一条平面曲线.
  • 描述点的运动规则就是曲线上点M的两个坐标EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_02之间的一个制约关系.
  • 它可以表示为EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_02的一个二元方程EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_04,称此二元方程为曲线的方程.它是直角坐标方程.
  • 借助于曲线的方程可以用代数方法分析曲线的某些重要性质.讨论曲线的各种应用.

运动轨迹和参数方程

  • 常见的许多曲线往往是物体在实际运动中的轨迹.这时运动的规律经常不是接反映为物体位置的坐标EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_02间的关系,而表现为物体的位置随时间改变的规律.也就是位置的坐标.EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_02和对时间f的依赖关系.
  • 例如.抛射体在重力作用下的运动轨道压抛物线.
  • 为了研究抛射休的运动.要建立它的轨道曲线.要建立它的直角坐标方程.就要找到运动中物体所在位置的坐标EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_07直接关系
  • 由于抛射体运动在这方面的特征不明显,因此直接建立轨道曲线的直角坐标方程不方便
  • 但是物体的运动直接和时间相关联,以时间EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_08为中介,运用物理学知识分别建立直接坐标EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_07EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_08的关系式,就唯一确定了物体的运动轨迹,也就间接建立了EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_07的关系
  • 参数方程式函数的重要表达形式

引言:简单抛射运动轨道曲线

  • 以炮弹在理想仅由重力作用下的抛射轨道曲线(铅直平面上的平面曲线)为例
  • 设炮弹的初速度EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_12,发射角(仰角)为EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_13
  • 为了描述这一运动,可以建立轨道曲线的方程.
  • 为此先在轨道曲线所在的平面上建立直角坐标系.以火炮所在位置(炮口)为原点,地平线(水平方向)为**EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_14轴**,EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_15竖直向上,把时间记为EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16、开始发射时,记EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_17
  • 设时刻EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16时,炮弹所在位置为EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_19,它时轨道曲线上的动点,分别讨论EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_02与时间EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16之间的关系
  • 由向量知识,在EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_07轴方向上分解炮弹的速度向量EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_23可得EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_24,EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_25分别表示EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_23EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_07轴上的分向量
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_28分别为向量EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_29的大小,则EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_30,EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_31
  • 由物理学抛射运动在水平和竖直方向位移和时间的关系得方程组(0)
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_32(水平方向作匀速运动)
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_33(竖直方向作数值上抛运动)
  • 其中EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_34都是常数,而EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_35参数
  • 方程组(0)可以根据时间算出炮弹所在的位置EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_36
  • 通过消去参数EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16,可得到(0)对应的直角坐标方程
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_38,代入EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_39的表达式:EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_40
  • 这显然是一个关于EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_41的二次方程,因此一元二次曲线称为抛物线

曲线的参数方程

一般的质点运动轨迹曲线关于时间的表示

  • 设质点的运动规律为
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_42
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_43
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_44
  • 其中EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_45EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16的函数
  • 进一步一般曲线抽象为参数方程

一般曲线的参数方程

  • 设平面上取定了一个直角坐标系EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_47,把EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_02表示为第3个变量EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16的函数
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_42;EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_43;EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_52(1)
  • 若对于EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16的每一个值,式(1)所确定的点EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_19都在一条曲线EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_55上,同时EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_55上的任意点EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_19都可以由某个EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16值通过式(1)得到,则称式(1)为曲线EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_55参数方程,变量EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16称为参数方程的参数

消参(参数方程转换为普通方程)

  • 若将式(1)中的参数EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_16消去,得到EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_04(2),该方程称为曲线EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_55的直角坐标方程(普通方程)

参数化(普通放长转换为参数方程)

  • 曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程,转化的关键是找到一个适当的参数.选用不同的参数,转换后的形式可能不同,对于一般方程EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_64
  • 常见的做法是令EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_65
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_66,然后解出EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_67,代入EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_68=EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_69
  • 曲线的普通方程和参数方程之间有些容易转化,有些则较困难,有些无法转化.
  • 一般的参数方程,参数可能有物理意义,如抛射体运动曲线的参数方程中,参数t表示运动时间.参数也可能有几何意义;参数可能既无物理意义,也无几何意义.这都要视具体情况而定.
  • 选取适当参数,把直线方程EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_70化为参数方程.
  • 最简单的做法:
  • EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_65,则EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_72,从而的直线的参数方程为:EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_73,EM@运动轨迹曲线和参数方程_参数方程_72,EM@运动轨迹曲线和参数方程_依赖关系_75
  • 其他做法:例如取EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_76,则EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_77,EM@运动轨迹曲线和参数方程_轨迹曲线_78=EM@运动轨迹曲线和参数方程_方程组_79

常见的参数方程