AM@邻域@极限定义中的符号说明

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abstract

• 邻域的概念
• 极限的定义中的符号说明

邻域👺

• 设$x_0\in\mathbb{R},\delta\gt0$,开区间$R_\delta=(x_0-\delta,x_0+\delta)$称为**${x_0}$的$\delta$ 邻域**,记作$U(x_0,\delta)$或$U_{\delta}(x_0)$

• 区间$R_{\delta}$也可以表示为绝对值不等式:$|x-x_0|<\delta$的解集:$\set{x||x-x_0|<\delta}$
• 因为$|x-x_0|<\delta$ $\Leftrightarrow$ $-\delta<x-x_0<\delta$ $\Leftrightarrow$ $x_0-\delta<x<x_0+\delta$
• 如果不需要说明$\delta$,可简记为$U(x_0)$

邻域中心和半径

• $x_0$为邻域$U(x_0,\delta)$的中心,称为邻域中心,$\delta$称为邻域半径

去心邻域

• 点$x_0$的去心$\delta$邻域,$R_{\mathring{\delta}}$=$(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$记作$\mathring{U}(x_0,\delta)$,或$\mathring{U}_{\delta}(x_0)$

• 区间$R_{\mathring{\delta}}$也可以表示为:$\set{x|0<|x-x_0|<\delta}$
• 如不需要说明$\delta$,可简记为$\mathring{U}(x_0)$

$\epsilon,\delta$的意义

• $\epsilon$是用来刻画$f(x)$与$A$的接近程度(刻画函数值)
• $\delta$是用来刻画$x\to{x_0}$这个极限过程(刻画自变量)

• $x\to{x_0}$但$x\neq{x_0}$
• 极限$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$是否存在,若存在极限,极限值等于多少

• 和"$x=x_0$处有没有定义,若有定义函数值等于多少"无关
• 和$x=x_0$的去心邻域$\mathring{U}(x_0,\delta)$函数值有关

• 要使$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$存在,$f(x)$必须在$x=x_0$的某去心领域$\mathring{U}(x_0,\delta)$处处有定义

各种极限定义的共同点

• 无论是数列极限还是函数极限,都用了正数$\epsilon$来刻画极限存在的形式
• 当$\epsilon$可以任意取(足够小)的时候,才能够体现极限的意义(它刻画了数列在靠近极限的过程的与极限的接近程度),因此定义中总是强调任意的正数$\epsilon$($\forall{\epsilon>0}$)

几何意义

• 对任意给定的$\epsilon>0$,总存在$\mathring{U}(x_0,\delta)$,当$x\in{\mathring{U}(x_0,\delta)}$时,曲线$y=f(x)$夹在两直线$y=A-\epsilon$,和$y=A+\epsilon$之间

极限定义中的极限过程临界值

• 根据上述极限的定义,数列极限中的$N$,函数极限中的$X$或$\delta$,都是给定$\epsilon$后,构造极限过程的区间(例如$n>N,x>X,0<|x-a|<\delta$)的参数,不妨称之为极限过程临界值
• $X$(或$N$)和预先给定的$\epsilon(\epsilon>0)$有关,但是$X$并不是$\epsilon$的函数

• 因为同一个$\epsilon$可以对应多个(甚至无穷多个)符合条件的$X$
• 若$X=X_1$满足$x>X$时$f(x)\in{U(A,\epsilon)}$,则$X=X_2(X_2>X_1)$也满足

$\epsilon$的选取👺

• 若$\lim\limits_{x\to{*}}f(x)=A$,则$\forall{\epsilon>0}$,$\exist{\delta>0}$,当$x\in\mathring{U(x_0,\delta)}$时,$|f(x)-A|<\epsilon$
• 在实际应用极限定义作推理的时候,经常时以如下形式出现:

• $\forall{\epsilon=\theta(c)>0}$,$\exist{\delta>0}$,当$x\in\mathring{U(x_0,\delta)}$时,$|f(x)-A|<\epsilon=\theta(c)$

• 其中$\theta(c)$是一个大于0的常数表达式,例如取$\theta(c)$为某个常数$M$或$\frac{1}{M}$
• 有时也把$\epsilon$隐去不写,而直接以给定的值$\theta(c)$来应用极限的条件
• 因为$f(x)\to{A}(x\to{*})$,所以$\epsilon=\theta(c)$可以取任何正数

• 通常,$\epsilon$取值在能够说明问题的前提下,取值越简单,越具体越好(不一定越小越好),可能是

• 极限值$A$相关的表达式(通常是$\frac{A}{2}$,这种手法可以推导出许多重要结论);
• 具体常数,比如$1$
• $\epsilon$的表达式(例如$\frac{\epsilon}{2}$,而不一定是$\epsilon$本身,因为$\epsilon$也是一个正的常数)

• 例如

• 无穷小之和仍为无穷小的证明中,就是以上述方式运用极限的条件
• 证明函数极限的有界性时,取$\epsilon=1$
• 证明函数极限的局部保号性时,可以取$\epsilon=\pm\frac{A}{2}$

概念辨析👺

• 这里要辨析的概念(假设$x\to{*}$的极限过程中)

• 可无限接近(要多接近有多接近)的值是极限
• 越来越接近的值不一定是极限
• 无限接近不同于越来越接近

• 无限接近得不出越来越接近
• 越来越接近也得不出无限接近

无限接近不同于越来越接近

• 无限接近(任意接近)于极限(趋近于极限)$\not\Leftrightarrow$越来越接近极限

• 极限强调的时无限接近,但不要求严格的越来越接近,只要总体上是越来越接近即可
• $\lim_{x_n\to \infin}x_n=0$,我们不能够说,$x_n$随着$n\to \infin$ $,x_n$越来越接近$x_n$

例

• 不单调也可以无限接近(有极限)
• $x_n=\frac{1}{n}$;极限$x_n=0(n\to \infin)$单调而且有极限0
• $x_n=\frac{(-1)^{n}}{n}$=$(-1)^{n}\frac{1}{n}$;极限$x_n=0(n\to \infin)$不单调但是也有极限0

例

• 令$f_1(x)$=$\frac{1}{x}$;$f_2(x)$=$\frac{3}{x}$;$f(x)=\begin{cases} f_1(x)&(n为奇数)\\ f_2(x)&(n为偶数)\end{cases}$
• $f_1(x)$,$f_2(x)$都满足$x_n\rightarrow0(n\rightarrow\infin)$;而$f(x)$是振荡地趋近于0
• $x_1,x_2,x_3,x_4,\dots$ 分别等于$1,\frac{3}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{4}$

越来越接近推不出无限接近

• $y=\frac{1}{x}+1(x>0)$,$x\to \infin$ 的过程越来越接近于$y=1$,同时$y$还越来越接近与$y=0$,
• 尽管$y$可以无限接近于1,但是无法无限接近于$y=0$,因为我们可以肯定:$y>1$;