AM@无穷小和无穷大

文章目录

• abstract
• 本文符号说明
• 无穷小

• 无穷小和自变量变化过程
• 无穷小和函数极限的关系定理👺

• 证明

• 无穷大

• 无穷大不是数
• 极限无穷大的说法
• 证明函数极限为无穷大

• 无穷大和无穷小见的关系定理
• 无穷小@无穷大的运算法则

abstract

• 无穷小和无穷大的概念和相关性质

本文符号说明

• 自变量$x$趋于${*}$(表示有限值$x_0$,或无穷$\infin$)的变化过程$x\to{*}$表示:$x\to{x_0}$或$x\to{\infin}$

无穷小

• 若函数$\lim\limits_{x\to{*}}f(x)=0$,则称$f(x)$为$x\to{*}$时的无穷小

• 特别地,以0为极限的数列$\set{x_n}$称为$n\to{\infin}$时的无穷小
• 从定义可以看出,无穷小是对具有某种性质的函数的称呼,而不是指很小(无穷小)的数

• Note:

• 记无穷小为$\alpha$.无穷小$\alpha$的精髓在于,$x\to{*}$的极限过程中可以无限接近0,即$|\alpha|$小于任意给定的正数$\epsilon(\epsilon>0)$
• 可见,任何非0的常数(或者常数函数$y=a(a\neq{0})$都无法做到这一点
• 而常数$0$(或者$y=0$)可以满足无穷小的条件$|0|<\epsilon$,因此是无穷小,并且在任意极限过程$(x\to{*})$都是无穷小,因此$0$有特殊地位
• 无穷小可以称为无穷小函数,更具体地称过程$x\to{*}$的无穷小函数
• 有些函数不可能是无穷小,例如$y=1+\frac{1}{x}(x>0)$,其定义域内任何自变量过程的函数极限不小于1

• 例:$\lim\limits_{x\to1}(x-1)=0$,所以$x-1$是$x\to{1}$时的等价无穷小

无穷小和自变量变化过程

• $0$以外的任何无穷小都有其对一个的变化过程$x\to{*}$
• 这和极限相仿,提到极限一定有其对应的自变量变化过程
• 无穷小参与运算或构成的式子中,要有一致的自变量变化过程
• 无穷小是函数,因此也可以和其他一般函数一起构成其他函数解析式,只不过无穷小要强调趋于0时对应的自变量变化过程$(x\to{*})$,脱离了变化过程,某些$\alpha$相关等式不再成立

无穷小和函数极限的关系定理👺

• 在自变量的同一个变化过程$x\to{*}$中,函数$f(x)$具有极限$A$的充要条件是$f(x)=A+\alpha$,$\alpha$是无穷小

• 其中$A+\alpha$是函数而不是常数

证明

• 以$x\to{x_0}$为例,主要采用极限和无穷小的定义进行推理($x\to{\infin}$类似)
• 必要性:设$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=A$,

• 则由极限定义:$\forall{\epsilon>0}$,$\exist{\delta>0}$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,有$|f(x)-A|<\epsilon$;
• 令$\alpha=f(x)-A$,则$|\alpha|<\epsilon$,即$|\alpha-0|<\epsilon$所以极限定义,$\lim\limits_{x\to{x_0}}\alpha=0$
• 所以$\alpha$是$x\to{x_0}$时的无穷小,且$f(x)=A+\alpha$
• 或者说,$f(x)$等于它的$(x\to{x_0})$时的极限$A$与一个无穷小$\alpha$之和,其中$\alpha$可以取$f(x)-A$
• Note:

• 从极限运算的角度:则$\lim\limits_{x\to{x_0}}\alpha$=$\lim\limits_{x\to{x_0}}(f(x)-A)$=$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)-\lim\limits_{x\to{x_0}}A$=$A-A$=0也可说明$\alpha$是$x\to{x_0}$时的无穷小

• 充分性:设$f(x)$=$A+\alpha$(1),其中$A$是常数,$\alpha$是$x\to{x_0}$时的无穷小

• 定义法证明

• 显然$|f(x)-A|=|\alpha|$
• 因为$\alpha\to{0}(x\to{x_0})$所以$\forall{\epsilon>0}$,$\exist{\delta>0}$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,$|\alpha|<\epsilon$,即$|f(x)-A|<\epsilon$
• 所以$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=A$

• 极限运算法:对(1)两边取极限:$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)$=$\lim\limits_{x\to{x_0}}(A+\alpha)$=$\lim\limits_{x\to{x_0}}A$+$\lim\limits_{x\to{x_0}}\alpha$=$A+0$=$A$

无穷大

• 若$x\to{*}$时,$|f(x)|$可以大于预先给定的任意大正数$M$,则$f(x)$是$x\to{*}$时的无穷大
• 或者精确地说:

• 设$f(x)$在$x_0$的某个去心领域${\mathring {U(x_0,\delta)}}$(或$|x|>N\in\mathbb{N}_{+}$)内有定义
• 若$\forall{M}$,$\exist{\delta>0}$(或$\exist X>0$),当$x\in{\mathring {U(x_0,\delta)}}$或($|x|>X$),总有$|f(x)|>M$,则称$f(x)$是$x\to{x_0}$(或$x\to{\infin}$)时的无穷大

无穷大不是数

• 无穷大$\infin$不是数,不同于很大的数(常数),而是强调自变量极限变化过程$(x\to{*})$的函数,且$(x\to{*})$时函数值要多大有多大

极限无穷大的说法

• 按照函数极限的定义,$x\to{*}$时是无穷大的函数$f(x)$的极限是不存在的(无穷大不是数)
• 为了便于叙述函数的这一性态,也称呼为函数的极限是无穷大的
• 总之:极限无穷大仍要归为极限不存在的大类当中,

• "极限无穷大"是"极限不存在且函数值趋于无穷"的简称
• 记为$\lim\limits_{x\to{*}}f(x)=\infin$
• 例

• $f(x)=x^2$,$\lim\limits_{x\to{\infin}}x^2=\infin$
• $f(x)=\frac{1}{x}$,$\lim\limits_{x\to{0}}\frac{1}{x}=\infin$

• 若将定义中的$|f(x)|>M$替换为$f(x)>M$(或$f(x)<-M$),则记为$\lim\limits_{x\to{*}}f(x)=+\infin$$(\lim\limits_{x\to{*}}f(x)=-\infin)$

证明函数极限为无穷大

• 极限无穷大本质上是极限不存在的情况,因此和证明极限存在时的情形有所不同,这里不再借助$\forall{\epsilon}>0$来刻画$x\to{*}$时函数和有限且确定的极限值无限接近,而采用$\forall{M}>0$来体现$x\to{*}$时的无穷大含义
• 证明$\lim\limits_{x\to{*}}f(x)=\infin$的思路是,设$\forall{M>0}$,$\exist{X}>0$,当($x$满足)$0<|x-x_0|<\delta$(或$x>X$)时$|f(x)|>M$(1)

• 从(1)求出$x$的取值范围并选定一个确定的$X$值(或$\delta$),来说明$f(x)$在$x\to{*}$时要多大有多大,即$\lim\limits_{x\to{*}}f(x)=\infin$

• 例

• 令$f(x)=\frac{1}{x-1}$证明$\lim\limits_{x\to{1}}f(x)=\infin$
• 证明:设$\forall{M>0}$,令$|f(x)|>M$,即$|\frac{1}{x-1}|>M$,即$|x-1|<\frac{1}{M}$
• 令$\delta=\frac{1}{M}$,则当$x$满足$0<|x-1|<\delta$时有$|\frac{1}{x-1}|>M$成立,从而$\lim\limits_{x\to{1}}f(x)=\infin$
• 可见$x=1$时函数$y=\frac{1}{x-1}$的图形的铅直渐近线

无穷大和无穷小见的关系定理

• 在自变量的同一个变化过程$x\to{*}$中,函数$f(x)$为无穷大,则$\frac{1}{f(x)}$是无穷小;

• 反之,若$f(x)$是无穷小,且$f(x)\neq{0}$,则$\frac{1}{f(x)}$为无穷大

• 证:以$x\to{x_0}$为例($x\to\infin$类似)

• 设$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=\infin$,则$\forall{M>0}$,$\exist{\delta>0}$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,有$|f(x)|>M$
• 则$|\frac{1}{f(x)}|<\frac{1}{M}$,令$\epsilon=\frac{1}{M}$,因为$M$可以取任何正数,所以$\epsilon$也可取任何值,且总有$|\frac{1}{f(x)}|<\epsilon$,从而$\lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{1}{f(x)}=0$
• 隐去细节的紧凑版本:$\forall{\epsilon>0}$,对于$M=\frac{1}{\epsilon}$,$\exist{\delta>0}$,当$0<|x-x_0|<\delta$时,$|f(x)|>M=\frac{1}{\epsilon}$,即$|\frac{1}{f(x)}|<\epsilon$,所以$\lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{1}{f(x)}=0$
• 反之,设$\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=0$,且$f(x)\neq{0}$

• $\forall{M>0}$,根据无穷小的定义,对于$\epsilon=\frac{1}{M}$,$\exist{\delta>0}$,当$0<|x-x_0|<\delta$,$|f(x)|<\epsilon=\frac{1}{M}$
• 由于当$0<|x-x_0|<\delta$时$f(x)\neq{0}$,从而$|\frac{1}{f(x)}|>M$
• 所以$\lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{1}{f(x)}=\infin$

无穷小@无穷大的运算法则

• 参见极限的运算法则