AA@对称多项式@对称多项式基本定理@多项式重根判别式

文章目录

• 从一元多项式的根与系数的关系(韦达定理)

• 初等对称多项式
• 对称多项式
• 对称多项式定义推出的性质

• 多项式的多项式

• 对称多项式基本定理

• 证明
• 将对称多项式分解为初等对称多项式的多项式

• 重要对称多项式和判别式

• 常见特例
• refs

从一元多项式的根与系数的关系(韦达定理)

• 对称多项式是多元多项式中常见的一种,对称多项式的来源之一是一元多项式根的研究
• 设$f(x)=x^n+\sum_{i=1}^{n}a_ix^{n-i}$=$\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}$=$\;(1)$,其中$a_0=1$;

• $f(x)$是$P[x]$中的一个多项式;这里$i$次项的系数是$a_{n-i}$

• 对于$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i$,总是可以通过提取$a_0$使得$F(x)=a_0$,$a_i=\frac{a_i$,且$F(x)=0$与$f(x)=0$同解,因此总是可以将$F(x)$转换为$f(x)$研究
• 若$f(x)$在数域$P$中有n个根$a_i,i=1,2,\cdots,n$,则$f(x)$可以分解为:

• $f(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-a_i)\;(2)$

• 比较$f(x)$的形式(1),(2),有根与系数的关系:

• $n-1$:$a_{1}=-\sum_{i=1}^{n}\alpha_i$
• $n-2$:$a_2$=$\alpha_1\alpha_2+\cdots+\alpha_{n-1}\alpha_{n}$=$\sum_{i_1\neq{i_2}}\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}$,求和式中含有$\binom{n}{2}$
• $\cdots$
• $a_i$=$(-1)^i\displaystyle\sum{\alpha_{k_1}\alpha_{k_2\cdots}\alpha_{k_i}}$,其中$k_1,k_2,\cdots,k_i$表示所有可能的$i$个不同的数,对应于从$a_1,a_2,\cdots,a_n$中(不放回地)抽出$i$个不同的元素,求和式中包含项数$\binom{n}{i}$
• $\cdots$
• $0$:$a_n=(-1)^n\prod_{i=1}^{n}\alpha_i$

初等对称多项式

• 由根与系数$a_{i},i=1,2,\cdots,n$的关系,构造的n个多项式是对称地依赖于文字$x_1,x_2,\cdots,x_n$

• $\sigma_1$=$\sum_{i=1}^{n}x_i$
• $\sigma_2$=$x_1x_2+\cdots+x_{n-1}x_n=\sum{\prod_{j=1}^{2}}x_{i_j}$;
• $\cdots$
• $\sigma_i$=$x_1x_2\cdots{x_i}+\cdots +x_{n-i+1}\cdots x_{n-1}x_n$=$\displaystyle\sum_{S_i}{\prod_{j=1}^{i}}x_{i_j}$;(同项)

• 其中$S_i=i_{1},i_{2},\cdots,i_{i}$表示$x_1,\cdots,x_n$中不放回地抽取出i个元素的所有可能(共有$\binom{n}{i}$种可能)

• $\cdots$
• $\sigma_{n}$=$\prod_{i=1}^{n}x_i$

• 可见,系数$a_i,i=0,1,2,\cdots,n$对称是依赖于方程的根
• $\sigma_i,i=1,2,\cdots,n$为都是n元对称多项式,称为初等对称多项式

对称多项式

• 设$n$元多项式$f(X)$,$X=(\cdots,x_i,\cdots,x_j,\cdots)$,$\overline{X}=(\cdots,x_j,\cdots,x_i,\cdots)$,若$\forall{i,j}$ ,$1\leqslant{i}<j\leqslant{n}$,s.t.$f(X)=f(\overline{X})$,则$f(x)$是对称多项式
• 换句话说,如果任意对换两个**文字(元)**的位置,$f(x_1,\cdots,x_n)$不变,则$f(x_1,\cdots,x_n)$是对称多项式
• 例如$f(X)=x_1^2x_2+x_2^2x_1+x_1^2x_3+x_3^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_2$是一个3元对称多项式

• $f(x_1,x_2,x_3)$=$x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2$
• $f(x_1,x_3,x_2)$=$x_1^2x_3+x_1^2x_2+x_1x_3^2+x_1x_2^2+x_3^2x_2+x_3x_2^3$
• $f(x_3,x_2,x_1)$=$x_3^2x_2+x_2^2x_3+x_3x_2^2+x_3x_1^2+x_2^2x_1+x_2x_1^2$
• $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1,x_3,x_2)=f(x_3,x_2,x_1)$

• Note:对于一个m次n元对称多项式$f(x_1,\cdots,x_n)$=$\sum_{j=1}a_j\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{k_i}$,第j项中文字$x_i$的次数记为$k_i^{[j]}$

• {$k_i^{[1]},k_i^{[2]},\cdots$}={$k_j^{[1]},k_j^{[2]},\cdots$}

对称多项式定义推出的性质

• 设$X=(x_1,\cdots,x_n)$,$f_1(X),f_2(X)$是对称多项式,则$f_1(X)+f_2(X)$,$f_1(X)f_2(X)$都是对称多项式

• 根据定义容易证明上述结论
• 例$f_1(X)=f_2(X)=(x_1+x_2+x_3)$,则$h(X)=(x_1+x_2+x_3)^2$仍然是对称多项式

多项式的多项式

• 设$g(Y)$是任意多项式,$f_i(X)$是n元对称多项式,则$g(f_1(X),\cdots,f_m(X))=h(X)$是$n$元对称多项式

• 设$\overline{X}$,是$X$中的某两个元对换位置后的结果,根据对称多项式的定义,$f_i(X)=f_i(\overline{X})$
• 类似地定义$\overline{Y}$是$Y$中谋两个元对换位置后的结果
• $h(\overline{X})=g(f_1(\overline{X}),\cdots,f_m(\overline{X}))$;而$f_i(\overline{X})=f_i(X)$,所以$h(\overline{X})$=$g(f_1(X),\cdots,f_m(X))$
• 所以$h(\overline{X})=h(X)$,可见$h(X)$是对称多项式,这就是说,对称多项式的多项式仍然是对称多项式

• 因此,初等对称多项式的多项式仍然是对称多项式

对称多项式基本定理

• 任意对称多项式都可以表示为初等对称多项式的多项式
• 符号描述:$\forall f(X)$,$\exist{\ \phi(Y)}$ s.t.$f(X)=\phi(\Sigma)$

• 其中,$f(X)$是对称多项式,$X=(x_1,\cdots,x_n)$,$Y=(y_1,\cdots,y_n)$,$\Sigma=(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)$
• $\sigma_i$是初等对称多项式

证明

1. 设对称多项式$f(X)$的按字典排列法的首项$a_n=a\prod_{i=1}^{n}x_i^{l_i}$,$a\neq{0}$,为了便于比较各个元的次数,以展开的形式书写$a_n=ax_{1}^{l_1}x_{2}^{l_2}\cdots{x_{n}^{l_n}}$,其对应的元组为$(l_1,l_2,\cdots,l_n)$ (0),注意元组长度$X$的元数$n$
2. $a_n$作为对称多项式的首项,必有$l_i\geqslant{l_{i+1}}\geqslant l_n\geqslant{0},i=1,2,\cdots,n-1$(数列L=$l_1,l_2,\cdots{l_n}$是单调增加的)

• 否则L不是单调增加的,意味着在$\exist{i}$,s.t.$l_i<l_{i+1}$(意思是,由于$f(X)$是对称的,$f(X)$在包含$a_n$的同时必定包含
• $a_s$=$ax_{1}^{l_1}\cdots x_{i+1}^{l_{i}}x_{i}^{l_i+1}\cdots{x_{n}^{l_n}}$=$ax_{1}^{l_1}\cdots x_{i}^{l_{i+1}}x_{i+1}^{l_i}\cdots{x_{n}^{l_n}}$
• 因为$f(x_1,\cdots,x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)\;(1)$;$f(x_1,\cdots,x_{i+1},x_{i},\cdots,x_n)\;(2)$
• (1)包含$a_n$一定使得(2)包含$a_s$,由$f(X)$是对称多项式可知$(1),(2)$式相等,所以$(1)$一定同时包含$a_n,a_s$
• 而$a_s$先于$a_n$,因此与$a_n$是$f(X)$的首项矛盾

3. 构造初等对称多项式的多项式:$\phi_1=a\prod_{i=1}^{n-1}{\sigma_{i}^{l_i-l_{i+1}}}\cdot\sigma_n^{l_n}$,其中$l_i$来自式(0),易知$\phi_1$也是对称多项式

• 由于$\sigma_i,i=1,2,\cdots,n$的首项是$\prod_{j=1}^{i}x_j$,将$\sigma_i$代入$\phi_1$,根据多项式乘积的首项分解性质,$\phi_1$的首项$b_n$等于${\sigma_{i}^{l_i-l_{i+1}}}$的首项($i=1,2,\cdots,n-1$)之积,即$b_n$=$a(x_1)^{l_1-l_2}(x_1x_2)^{l_2-l_3}\cdots(x_1\cdots x_n)^{l_{n-1}-l_{n}}(x_1\cdots x_n)^{ln}$
• 化简:$b_n$=$ax_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots{x_n^{l_n}}$,即多项式$f$与$\phi_1$有相同的首项

4. 构造对称多项式$f_1(X)=f(X)-\phi_1(X)$,省略$(X)$不写,简记为$f_1=f-\phi_1$,$f_1$具有比$f$有"较小"的首项

• 对$f_1(X)$重复上述做法(1,2,3),得到一系列对称多项式$f_0=f,f_1=f_0-\phi_1$,$f_2=f_1-\phi_2$,$\cdots$ (a)

• 且它们的首项一个比一个小(前面的大,后面的小,可以表示为$a_n^{[i]}>a_{n}^{[j]},i<j$)
• $\phi_i$是关于$\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n$的多项式$i=1,2,\cdots$

• 设$a_n^{[i]}=b\prod_{i=1}^{n}x_i^{p_i}$是$f_i$的首项,则$a_n>a_n^{[i]}$,且有$l_1\geqslant{p_1}\geqslant{p_2}\geqslant{\cdots}\geqslant{p_n}\geqslant{0}$ (b)

• 满足(b)的元组$(p_1,\cdots,p_n)$的数目是有限的(上限低于$l_1^n$个)
• 所以,对应到$(a)$中也只有有限多个对称多项式不为零,即存在正整数$h$使得$f_h=0$
• 等式组$(a)$,的最后一个等式可以描述为$f_h=f_{h-1}-\phi_{h}$
• 将$(a)$中的$1+h$个等式相加,得到$\sum_{i=0}^{h}f_i=f+\sum_{i=0}^{h}fi-\sum_{i=1}^{h}\phi_i$
• 因此$f(X)=\sum_{i=1}\phi_i$,即对称多项式$f(X)$可以表示为一些初等对称多项式的多项式之和

• 即$f(X)$可以表示为初等对称多项式的一个多项式

• 此外,定理中的$\phi(Y)$是被对称多项式$f(X)$唯一确定的

将对称多项式分解为初等对称多项式的多项式

• 上述定理的证明过程就是分解过程
• 例:设3元对称多项式$f(x_1,x_2,x_3)$=$x_1^3+x_2^3+x_3^3$表示为$\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}$的多项式

• 其首项为$a_n=x_1^3$,对应的元组为$(3,0,0)$,系数$a^{[0]}=1$
• 构造对称多项式$\phi_1=1\cdot\sigma_{1}^{3-0}\sigma_{2}^{0-0}\sigma_{3}^{0}$=$\sigma_1^{3}$=$(x_1x_2x_3)^3+\cdots$

• $\sigma_1^3=(\sum_{i}^{n}x_i)^3$=$(x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1^2x_3\cdots)$+$(x_2^3+3x_2^2x_3+3x_2x_3^2)$+$x_3^3$

• 由于只有3次方,我们可以利用组合数确定各项并完全写尽展开式,分为3层
• $(x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1^2x_3+3x_1x_2^2+6x_1x_2x_3+3x_1x_3^2)$
• $(x_2^3+3x_2^2x_3+3x_2x_3^2)$
• $(x_3^3)$

• 构造$f_1=f-\phi_1=x_1^3+x_2^3+x_3^3-\sigma_1^{3}$=$-3(x_1^2x_2+x_2^2x_1+\cdots)-6x_1x_2x_3$,$f_1$的首项$a_n^{[1]}=-3x_1^2x_2$对应的有序数组为$(2,1,0)$,系数$a^{[1]}=-3$
• 根据$f_1$的首项$a_n^{[1]}$构造$\phi_2$=$-3\sigma_1^{2-1}\sigma_2^{1-0}\sigma_3^{0}$=$-3\sigma_1\sigma_2$=$-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$

• =$-3[(x_1^2x_2+x_1x_2x_3+x_1^2x_3)+(x_1x_2^2+x_1x_2x_3+x_2^2x_3)+(x_1x_2x_3+x_1x_3^2+x_2x_3^2)]$
• =$-3(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2)-9x_1x_2x_3$
• =$-3(x_1^2x_2+x_2^2x_1+\cdots)-9x_1x_2x_3$

• 构造$f_2$=$f_1-\phi_2$=$3x_1x_2x_3$,其首项为$3x_1x_2x_3$,元组$(1,1,1)$,系数$a_{n}^{[3]}=3$

• 构造$\phi_3=3\sigma_1^{1-1}\sigma_2^{1-1}\sigma_3^{1}$=$3\sigma_3$=$3x_1x_2x_3$

• 构造$f_3=f_2-\phi_3$=$3x_1x_2x_3-3x_1x_2x_3=0$
• $x_1^3+x_2^3+x_3^3$=$\sum_{i=1}^{3}\phi_i$=$\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3$

重要对称多项式和判别式

• 判别式 (wikipedia.org)
• $x_1,\cdots,x_n$构成的n元多项式$D$=$[\prod_{i<j}(x_i-x_j)]^2$=$\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2$是一个重要的对称多项式

• 由对称多项式基本定理,$D$可以表示为$\phi(\Sigma)$
• D还可以表示为$a_k=(-1)^{k}\sigma_{k},k=1,2,\cdots,n$的多项式,记为$D(a_1,\cdots,a_n)$

• $a_1=-\sigma_1$
• $a_2=\sigma_2$
• $a_3=-\sigma_3$
• $\cdots$

• 由根与系数的关系(韦达定理),设$x_1,\cdots,x_n$是$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}$,$(a_0=1)$的n个根

• 则$D(a_1,\cdots,a_n)=0$是$f(x)$在复数域内有重根的充要条件

• 有重根意味着:$\exist x_i=x_j$,$i\neq{j}$,s.t. $f(x_i)=f(x_j)=0$;将$x_i=x_j$代入$D$,则$D=0$
• 相反,若$D=0$则有:$\exist x_i=x_j$,$i\neq{j}$,s.t. $f(x_i)=f(x_j)=0$

• $D$=$D(a_1,\cdots,a_n)$被称为$f(x)$的判别式

常见特例

• 一元二次多项式:$f(x)=x^2+a_1x+a_2$的判别式$D=a_1^2-4a_2$

• 设$x_1,x_2$是$f(x)$的2个根,则$D=(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$=$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$=$\sigma_1^2-4\sigma_2$=$a_1^2-4a_2$

• 一元三次多项式:$g(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$的判别式为$D=a_1^2a_2^2-4a_2^3-4a_1^3a_3-27a_3^2+18a_1a_2a_3$

• 设$x_1,x_2,x_3$的3个根,则$D=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2$=$(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2$

• $=(a_1^2-4a_2)(x_1^2-2x_1x_3+x_3^2)(x_2^2-2x_2x_3+x_3^2)$
• $\cdots$(TODO展开细节)
• $=a_1^2a_2^2-4a_2^3-4a_1^3a_3-27a_3^2+18a_1a_2a_3$

refs

• <<高等代数>>@王v5
• 对称多项式基本定理 (zhihu.com)