LA@分块矩阵@初等变换@初等矩阵#逆矩阵计算@初等变换法

文章目录

• ​​LA@分块矩阵@初等变换@初等矩阵#逆矩阵计算@初等变换法​​

• ​​分块矩阵​​

• ​​乘法​​
• ​​逆​​

• ​​例​​

• ​​准对角矩阵​​
• ​​转置​​

• ​​矩阵的初等变换🎈​​

• ​​等价矩阵​​
• ​​行`阶梯形`矩阵🎈​​

• ​​变换步骤​​

• ​​行简化阶梯形矩阵@最简矩阵​​
• ​​等价标准形矩阵​​

• ​​变换步骤​​

• ​​小结​​

• ​​初等矩阵​​

• ​​初等矩阵的结论🎈​​
• ​​小结​​

• ​​逆矩阵计算@初等变换法​​

• ​​步骤​​
• ​​利用初等行变换直接求解简单`矩阵方程`​​

LA@分块矩阵@初等变换@初等矩阵#逆矩阵计算@初等变换法

分块矩阵

乘法

• 注意对相乘的两个高阶矩阵的划分方法,子矩阵之间要能够相乘

• $A_{m\times{n}}B_{n\times{p}}=C_{m\times{p}}$

• $m=\sum_{i=1}^{t}m_{i}$
• $n=\sum_{i=1}^{l}n_{i}$
• $p=\sum_{i=1}^{r}p_{i}$
• $A=(A_{ij})_{t\times{l}}$
• $B=(B_{ij})_{l\times{r}}$
• $C=((AB)_{ij})_{t\times{r}}$
• $(A_{ij})_{m_i\times{n_j}},(B_{ij})_{n_{i}\times{p_j}}$

• $C_{ij}=\sum_{k=1}^{l}A_{ik}B_{kj},(i=1,2,\cdots,t;j=1,2,\cdots,{r})$

逆

• 借助分块乘法,可以将高阶矩阵求逆转为低阶矩阵求逆

例

• n阶矩阵:$D=\begin{pmatrix}A&\bold{0}\\C&B\end{pmatrix}$,A,B均可逆

• 待定系数法:$D^{-1}=\begin{pmatrix}X_{11}&{X_{12}}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}$
• $DD^{-1}=\begin{pmatrix}A&\bold{0}\\C&B\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X_{11}&{X_{12}}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}E_k&{\bold{0}}\\\bold{0}&E_r\end{pmatrix}=E_{n=k+r}$
• $AX_{11}=E_k\\ AX_{12}=\bold{0}\\ CX_{11}+BX_{21}=0\\ CX_{12}+BX_{22}=E_r \\ 对前两个式子两边左乘A^{-1},得到X_{11}=A^{-1};X_{12}=\bold{0} \\分别带入第3,4式中,得到: \\X_{21}=-B^{-1}CA^{-1} \\BX_{22}=E_r,左乘B^{-1},X_{22}=B^{-1} \\得: \\D^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&\bold{0}\\ -B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{pmatrix}$
• 特别的,当$C=\bold{0}$

• $D=\begin{pmatrix}A&\bold{0}\\\bold{0}&B\end{pmatrix} \\ D^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&\bold{0}\\ \bold{0}&B^{-1}\end{pmatrix}$

• 类似的:

• $\\ \begin{pmatrix}A&C\\\bold{0}&B\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\ \bold0&B^{-1}\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}\bold{0}&A\\B&\bold{0}\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}\bold{0}&B^{-1}\\A^{-1}&\bold{0}\end{pmatrix}$
• 注意区分行列式中的拉普拉斯展开

准对角矩阵

• $A=\begin{pmatrix} A_{11}& 0& \cdots & 0 \\ 0& A_{22}& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} \\ A^{-1}=\begin{pmatrix} A_{11}^{-1}& 0& \cdots & 0 \\ 0& A_{22}^{-1}& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & A_{nn}^{-1} \end{pmatrix} \\将两个矩阵相乘,容易验证$

转置

• $A_{p\times{q}}=\begin{pmatrix} A_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1q} \\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{p1}& A_{p2}& \cdots & A_{pq} \end{pmatrix} \\ A^T_{q\times{p}}=\begin{pmatrix} A_{11}^T& A_{21}^T& \cdots & A_{p1}^T \\ A_{12}^T& A_{22}^T& \cdots & A_{p2}^T \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1q}^T& A_{2q}^T& \cdots & A_{pq}^T \end{pmatrix}$

矩阵的初等变换🎈

• 初等变换分为行变换和列变换,仅以行变换为例:

• 交换矩阵的某两行位置$r_i\leftrightarrow{r_j}$
• 用一个非零常数k乘以矩阵的某一行$kr_i,k\ne{0}$
• 将矩阵的某一行乘以非零常数k后加到另一行:$kr_i+r_j,k\ne{0}$

等价矩阵

• 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到,则称A和B为等价矩阵,记为$A\cong{B}$

• 其中$\cong$式全等(congruent)号,在此处是等价号

• 等价矩阵的性质:

• $A\cong{A}$
• $若A\cong{B}则B\cong{A}$
• $若A\cong{B},B\cong{C}则A\cong{C}$

行​​阶梯形​​矩阵🎈

• Row Echelon Form,记为REF-Matrix

1. 若有零行(矩阵中元素全为0的行),则零行都位于矩阵下方(特点1)
2. 从第一行起,每行的主元(第一个非零元素)前面零的个数逐行增加(严格增加). (特点2)

• 或者说,每行主元的列指标严格增加

变换步骤

• 为了得到行简化矩阵,可以执行一系列的初等变换(这些初等变换要么全是行变换,要么全是列变换)
• 将矩阵行中最接近全零行的行调整到第一行
• 利用第一行将第一列到最后一列尽可能的零化(使得结果满足特点1,2)
• $A=\left( \begin{matrix} 3& 1& 5& 6\\ 1& -1& 3& -2\\ 2& 1& 3& 5\\ 1& 1& 1& 1\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_4}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 3& -2\\ 2& 1& 3& 5\\ 3& 1& 5& 6\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{array}{c} r_2-r_1\\ r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\ \end{array}} \\ \left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -2& 2& -3\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& -2& 2& 3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& -2& 2& -3\\ 0& -2& 2& 3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{array}{c} r_3-2r_2\\ r_4-2r_2\\ \end{array}} \\ \left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& -9\\ 0& 0& 0& -3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{-\frac{1}{9}r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& -3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_4+3r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right)$
• 行阶梯形矩阵的条件比较宽松,同一个矩阵化为行阶梯型矩阵的结果可以是多种多样的

• 从一般行阶梯形矩阵化为行简化矩阵(最简矩阵)的过程(中间结果矩阵)都是行阶梯形矩阵

• 但是最简形式是一样的(行简化阶梯形矩阵)

行简化阶梯形矩阵@最简矩阵

• 简化列阶梯形矩阵或简约行梯形式矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），记为RREF-Matrix如果满足额外的条件：

• 阶梯形矩阵中非零行主元(第一个非零元素)为1
• 且主元所在的​​列​​的其他元素都为0

• $\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{-r_2} \left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1-r_2} \left( \begin{matrix} 1& 0& 2& 4\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2+3r_3;r_1-4r_3} \\ \left( \begin{matrix} 1& 0& 2& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right)$

等价标准形矩阵

• ​​Matrix equivalence - Wikipedia​​
• Canonical form
• The rank property yields an intuitive canonical form for matrices of the equivalence class of rank k as

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&&\cdots &&0\\0&1&0&&\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&0\\\vdots &&&1&&&\vdots \\&&&&0&&\\&&&&&\ddots &\\0&&&\cdots &&&0\end{pmatrix} } }$

• where the number of 1s on the diagonal is equal to k. This is a special case of the ​​Smith normal form​​, which generalizes this concept on vector spaces to ​​free modules​​ over ​​principal ideal domains​​.
• 设A为n阶矩阵

• 其等价矩阵(行简化阶梯形矩阵)中,位于左上角的子矩阵是一个r阶单位阵($r\leqslant{}n$)
• 其余子块都是零矩阵(如果有的话)
• note:当A是可逆方阵时,$r=n$
• $C= \begin{pmatrix} E_r&0_{r\times{s}}\\ 0_{s\times{r}}&0_{s} \end{pmatrix} \\ r+s=n(r\leqslant{n}),当A可逆时取等号$
• 对A经过一系列的初等变换得到标准形矩阵C,可以用初等矩阵乘法表示为$PAQ=C$

• 对两边取行列式:$|P||A||Q|=|C|$

• 由拉普拉斯展开

• $\begin{vmatrix} A_m&R \\ O&B_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_m& O\\ R&B_n \end{vmatrix} =|A_m|\cdot|B_n|$

• $|P||A||Q|=|E_r||0_s|$

• 若A可逆,则$|A|\neq{0}$

• 初等矩阵$P,Q$均可逆($|P||Q|$不为0),等式$|P||A||Q|=|E_r||0_s|$左边不为0,所以等式右边也不为0
• 可见,只有当r=n时,等式右边不为0,此时C是n阶单位矩阵

变换步骤

• 假设矩阵A经过初等行变换得行简化阶梯形矩阵B=RREF(A)
• 对B再所若干次初等列变换,得到A的等价标准型矩阵
  $\left( \begin{matrix} 1& 0& 2& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_3-2r_1} \left( \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_3+r_2} \left( \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \\ \xrightarrow{r_3\leftrightarrow{r_4}} \left( \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right)$
• 将过上述变换,将一个一般的方阵A变换为一个与之等价的标准形矩阵

小结

• 任意矩阵都可以通过若干次初等​​行​​变换化为"行阶梯形矩阵"和"行简化阶梯形矩阵"
• 任意矩阵都可以通过初等变换(包括行变换和列变换)化为等价的标准形矩阵

初等矩阵

• 单位矩阵E做一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵

• 易知单位矩阵本身也是初等矩阵
• 每个初等变换都有一个与之对应的初等矩阵
• 交换第i,j两行(列)的位置,记为$P(i,j)$

• 交换第i,j行和交换第i,j列效果一样
• $\begin{pmatrix} 1& & & & & & & & & & \\ & \ddots& & & & & & & & & \\ & & 1& & & & & & & & \\ & & & (0)& & & & [1]& & & \\ & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & \ddots& & & & & \\ & & & & & & 1& & & & \\ & & & (1)& & & & [0]& & & \\ & & & & & & & & 1& & \\ & & & & & & & & & \ddots& \\ & & & & & & & & & & 1\\ \end{pmatrix}$

• k倍乘第i行(列),记为$P(i(k))$

• 第i行乘以k和第i列乘以k效果一样
• $\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ & \ddots& & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & k& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix}$

• k倍乘第j行,加到第i行,记为$P(i,j(k))$

• 第j行的k倍加到第i行$(r_i+kr_j)$效果等价于第i列乘以k倍加到第j列$(c_j+kc_i)$
• 若$i,{j}$相等,此时变为倍乘效果
• $\begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & k & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix}$

初等矩阵的结论🎈

• 初等矩阵有三类:$P(i,j),P(i(k)),P(i,j(k))$
• 初等矩阵均可逆,其逆矩阵仍然为初等矩阵(用逆矩阵定义可以求证下列结论)

• 对初等矩阵取行列式,都不为0
• $P(i,j)^{-1}=P(i,j)$
• $P(i(k))^{-1}=P(i(k^{-1}))$
• $P(i,j(k))^{-1}=P(i,j(-k))$

• 对矩阵$A_{m\times{n}}$

• 做一次初等行变换,相当于对A左乘相应的$m$阶初等矩阵
• 做一次初等列变换,相当于对A右乘相应的$n$阶初等矩阵.
• 初等矩阵是由单位矩阵经过初等变换得到的.

• 假设初等矩阵M是由单位阵E经过初等变换$P(f)$得到的$E\xrightarrow{P(f)}M$

• $P(f)$变换可细分为

• 初等行变换$P_r(f)$
• 初等列变换,$P_c(f)$
• 能够满足$E\to{M}$的变换即可

• 可以初等矩阵M详细记为$M=M_{P(f)}$

• 那么

• $C=MA$相当于:对矩阵A做一次$P_r(f)$变换得到矩阵C
• $D=AM$相当于:对矩阵A做一次$P_c(f)$变换得到矩阵D

• 证明:(以初等行变换)为例

• 做如下矩阵分块(预计算),相比直接计算原始矩阵更加简洁
• $一般的,设m阶矩阵 B_{m\times{m}}=\begin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &\cdots &b_{14} \\ b_{21} &b_{22} &\cdots &b_{24} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ b_{41} &b_{42} &\cdots &b_{44} \\ \end{pmatrix} \\ 对矩阵A_{m\times{n}}进行分块(按行分块),A_i为第i行(i=1,2,\cdots{m}) \\由矩阵的分块乘法得到: \\C_{m\times{n}}=BA=\begin{pmatrix} \sum\limits_{k=1}^{m}b_{1k}A_{k} \\ \sum\limits_{k=1}^{m}b_{2k}A_{k} \\ \vdots \\ \sum\limits_{k=1}^{m}b_{mk}A_{k} \\ \end{pmatrix} \\其中\sum\limits_{k=1}^{m}b_{ik}A_{k}和A_k都是1\times{n}的矩阵(行向量)$
• 令$B=P(i,j)$
  $C=BA=P(i,j)A=\begin{pmatrix} A_{1} \\ \vdots \\ \boxed{A_{j}} \\ \vdots \\ \boxed{A_{i}} \\ \vdots \\ A_{m} \\ \end{pmatrix}$

• 这相当于把矩阵A的第i行和第j行互换

• 类似的,令$B=P(i(k))$有:

• $C=BA=P(i(k))A=\begin{pmatrix} A_{1} \\ \vdots \\ \boxed{kA_{i}} \\ \vdots \\ A_{m} \\ \end{pmatrix}$
• 这相当于把矩阵A的第i行乘以k倍

• 令$B=P(i,j(k))$

• $C=BA=P(i,j(k))A=\begin{pmatrix} A_{1} \\ \vdots \\ \boxed{A_{i}}+kA_j \\ \vdots \\ \boxed{A_{j}} \\ \vdots \\ A_{m} \\ \end{pmatrix}$
• 相当于将矩阵A第j行乘以k倍加到第i行

• 右乘初等矩阵和列变换关系的证明

• $设A_{m\times{n}},B_{n\times{n}} \\对A,B进行分块: \\A=\begin{pmatrix} A_{1} \\ A_{2} \\ \vdots \\ A_{m} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \end{pmatrix} \\其中A_i(i=1,\cdots,m)是1\times{n}的行向量 \\ \alpha_{j}(j=1,\cdots,n)是m\times{1}的列向量 \\\\ B=\begin{pmatrix} B_{1}&B_{2}&\cdots&B_{n} \end{pmatrix} \\其中B_i(i=1,\cdots,n)是n\times{1}的列向量 \\ C=AB=\begin{pmatrix} A_{1} \\ A_{2} \\ \vdots \\ A_{m} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{1}&B_{2}&\cdots&B_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A_{1}B_{1}&A_{1}B_{2}&\cdots &A_{1}B_{4} \\ A_{2}B_{1}&A_{2}B_{2}&\cdots &A_{2}B_{4} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ A_{4}B_{1}&A_{4}B_{2}&\cdots &A_{4}B_{4} \\ \end{pmatrix} \\C_{ij}=A_{i}B_{j}是1\times{1}的矩阵$
• 若$B=P(i,j)$

• $C=AB =\begin{pmatrix} a_{11} &\cdots &a_{j} &\cdots &a_{i} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots & &\vdots & &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &\cdots &a_{j} &\cdots &a_{i} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\cdots&\alpha_{j}&\cdots&\alpha_{i}&\cdots&\alpha_{n} \end{pmatrix}$
• 相当于将矩阵A的第i列和第j列互换

• 若$B=P(i(k))$

• $C=AB=\begin{pmatrix} a_{11} &\cdots &ka_{i} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots & &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &\cdots &ka_{i} &\cdots &a_{mn} \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\cdots &k\alpha_{i}&\cdots&\alpha_{n} \end{pmatrix}$
• 相当于将矩阵A的第i列乘以k

• 若$B=P(i,j(k))$

• $C=AB=\begin{pmatrix} a_{11} &\cdots &a_i+ka_{j} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots & &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &\cdots &a_i+ka_{j} &\cdots &a_{mn} \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\cdots &\alpha_{i}+ka_j&\cdots&\alpha_{n} \end{pmatrix}$
• 相当于将矩阵A的第j列乘以k加到第i列

小结

• 矩阵A和B等价的充分条件是存在初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_{s}$和$Q_1,Q_2,\cdots,Q_t$使得

• $B=P_s\cdots{P_2P_1}AQ_{1}Q_{2}\cdots{Q_t}$

• 可逆矩阵和同阶单位矩阵等价

• 任意矩阵可以化为(存在)与之等价的标准形矩阵:

• $PAQ=E$

逆矩阵计算@初等变换法

• n阶矩阵A可逆的充要条件是,A可以表示为若干个初等矩阵的乘积

• 因为n阶矩阵A可逆(A与同阶单位阵E等价),则存在n阶初等矩阵序列$P=P_1P_2\cdots P_s$和$Q=Q_1Q_2\cdots Q_t$,使得

• $PAQ=E$
• 由于初等矩阵及其逆矩阵都是可逆矩阵($P_i,Q_j(i=1,2\cdots,s;j=1,2,\cdots,t)$)都可逆
• 两侧同时左乘$P^{-1}=P_s^{-1}\cdots{}{P_{2}^{-1}P_1^{-1}}$和$Q=Q_{t}^{-1}\cdots{Q_{2}^{-1}Q_{1}^{-1}}$
• 则$A=PEQ=PQ$
• 为例更加统一,可以记$W=PQ=P_1P_2\cdots P_sQ_1Q_2\cdots Q_t=W_1W_2\cdots W_{z},(z=s+t)$
• 所以可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积

• 任意可逆矩阵都可以经过初等行变换化为单位矩阵

• 设A为可逆矩阵
• A可以表示为若干个初等矩阵的乘积,记为$A=W_1W_2\cdots W_{z}$
• $A^{-1}=W_s^{-1}\cdots{W_{2}^{-1}W_{1}^{-1}}$
• 从而$A^{-1}A=W_s^{-1}\cdots{W_{2}^{-1}W_{1}^{-1}}A=E$
• 即可逆矩阵A左乘初等矩阵序列 $W_s^{-1}\cdots{W_{2}^{-1}W_{1}^{-1}}$得到单位矩阵
• 对A做若干初等行变换(而不需要初等列变换)就可求出$A^{-1}$
• 利用这个原理可以求解可逆矩阵的逆

步骤

• 对n阶可逆矩阵A,构造一个$n\times{2n}$的增广矩阵$B=(A|E)_{n\times{2n}}$
• A可以表示为$A=P_{1}P_2\cdots{P_s}$
• 易知对$B=(A|E)$左乘$A^{-1}$,得到$A^{-1}B=(A^{-1}A|A^{-1}E)=(E|A^{-1})$

• 由分块矩阵乘法公式可以得到上述结论$(a)(b\ c)=(ab\ ac)$
• $A^{-1}$是我们需要求解的东西,往往无法直接得到
• 但是$A^{-1}=P_s^{-1}\cdots{P_2^{-1}P_1^{-1}}$

• $P_s^{-1}\cdots{P_2^{-1}P_1^{-1}}B=(E|A^{-1})$
• 也就是说通过观察矩阵A(或其增广阵B),对其进行一系列初等行变换来得到包含$A^{-1}$的矩阵$(E|A^{-1})$,从该矩阵读出$A^{-1}$

利用初等行变换直接求解简单​​矩阵方程​​

• 对于基本的矩阵方程$AX=B$

• A为n阶可逆方阵
• B为$n\times{m}$矩阵
• X则为$n\times{m}$矩阵

• 对$AX=B$两边同时左乘$A^{-1}$

• $X=A^{-1}B$

• 构造$C=(A|B)$

• 对两边同时左乘$A^{-1}$,$A^{-1}C=A^{-1}(A|B)=(E|A^{-1}B)$
• 我们从$(E|A^{-1}B)$可以直接读出$X=A^{-1}B$(但是读不出$A^{-1}$)