队列:循环队列和双端队列/受限双端队列

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循环队列的长度

• 我们设循环队列的长度(队列中存在的元素数量(实际有效长度))$为L$
• 为了方便计算,我们为循环队列打了两重下标,第二重开始的下标是虚拟的

• 第二重下标是第一重下标加上MaxSize后得到的(本例中MaxSize=8)

• 并且,队列头指针F总是沿着顺时针的方向追赶队尾指针R
• 我们允许R取得第二重下标,而F只允许取第一重下标中的值

• 这样,队列的元素数量(实际长度)就可以表示为:

• $L'=R-F,但是由于R可以取得第二重下标,因此L'可能是L,也可能是L+MaxSize$
• 而实际上,我们知道队列的元素长度$L$是不会超过$Maxsize,即L \leqslant Maxsize$;
• 恰好地,我们有一种运算(取模运算),$可以使得L+K\times MaxSize\to L$

• $L=(L+K\times MaxSize)\%MaxSize$

• 为了同一表达式,我们限制R的值只可以在第二重下标中取得,并把此时的值记为($R'=R+MaxSize$)

• $从而L=(R'-F)\%MaxSize=(R+MaxSize-F)%MaxSize$

循环队列满/空判断

空判断

• 对于空队列,有​​Q.rear==Q.front​​

满判断

• 判断队列满的方案有多种

• 牺牲掉一个位置来判断​​队满​​

• 具体的判空条件为​​(Q.rear+1)%MaxSize==Q.front​​

• 之所以这里要用$MaxSize$,$是考虑到队满发生在Q.rear=MaxSize-1$
• 这种情况下$Q.rear+1=MaxSize$,这超过了数组下标的范围
• $而Q.front$不可能超过数组的下标范围,这样及时满足队满条件,也无法做出正确判断!

• 在队列的数据类型中设置​​size​​成员来表示队列元素个数
• 或者设置​​tag​​​成员来区分​​Q.front==Q.rear​​是队满还是队空

循环队列入队

• 假设​​rear​​指针指向

• 队尾元素本身,或者
• 队尾元素的下一个位置(空位)

• 检查队列是否已满(上面两种rear的定义情况都可以用以下条件进行判满)

• ​​(Q.rear+1)%MaxSize==Q.front​​

• 如果未满,则更新维护队尾指针​​rear=(rear+1)%MaxSize​​

循环队列入队

• ​​front=(front+1)%MaxSize​​

受限双端队列

双入单出

			1
		2		2
	3				3
4						4

输入队列(按照左优先来组织(以1为中心))

• 共产生:$1\times 2^3=8$中入队序列

2从左边入队

3从左侧入队

1. 4321(4从左侧入队)
2. 3214(4从右侧入队)

3从右侧入队

1. 4213(4从左入队侧)
2. 2134(4从右侧入队)

2从右边入队

3从左侧入队

1. 43​​12​​
2. 3​​12​​4

3从右侧入队

1. 4​​12​​3
2. ​​12​​34

小结:

• 对于单出双端队列,其入队序列,一个鲜明的特点在于入队序列的(第一个入队的元素)​​起点​​是1(或者是第一个进入队列的元素)
• 起点的两侧序列的元素序号各自从起点向外侧递增(类似于抛物线)

双出单入

• 单入双处在进入序列是唯一的,但是在出队列上的可能性是很多的
• 甚至于,当入队序列的长度n不超过3,即$n\leqslant 3$的时候,任意的出队列都有可能(覆盖n的全排列$A_n^n=n!$)
• 而当队列长度达到4的时候($n>3$),那么会有一些出队列的序列是无法做到的,例如:

• 42xx打头的出队序列就无法实现

• 4213
• 4231
• 这是因为:

• 最后一个入队列的元素4作为第一个出队元素,那么可以确定,4出队的时候,所有其他元素(1,2,3)都还在队列中
• 导致2被加载1与3之间,无法在作为跟在4后面紧接着出列
• 但是同时我们发现,41xx和43xx都是可以实现的出度序列