math_高阶导数求导法则和公式

高阶导数求导法则和公式

部分高阶导数公式推导和归纳

$\frac{d^n}{dx^n}\frac{1}{x}$

n(deriv(n))	$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$
1	$-1x^{-2}$
2	$(-1)(-2)x^{-3}$
3	$(-1)(-2)(-3)x^{-4}$
…	…
n	$(-1)(-2)(-3)\cdots(-n)x^{-(n+1)}=(-1)^n n!x^{-(n+1)}$

$求sin(kx)的高阶导数时,利用诱导公式cos(\phi(x))=sin(\frac{\pi}{2}+\phi(x)) \\ 求cos(kx)的高阶导数时,利用-sin(\phi(x))=cos(\phi(x)+\frac{\pi}{2})$

$((x+a)^k)^{(n)}$

$(x^n)^{(n)}=n!; \\(x^n)^{(n+1)}=0 \\可以得到 \\ ((x+a)^n)^{(n)} =(\sum\limits_{i=0}^{n}{x^{i}a^{n-i}}))^{(n)}=1\cdot (x^{n})^{(n)}=n!$

$更一般的,我们可以推导: \\ 记y=(x+a)^k \\y^{(n)}=((x+a)^k)^{(n)} \\1\leqslant n\leqslant k;k,n\in N^+时, \\((x+a)^k)^{(n)}=\frac{k!}{(k-n)!}(x+a)^{k-n} =P^{n}_{k}{(x+a)}^{k-n}$

$\\特别的,当n=k时,(常数a的值在此时无关紧要) 便得: \\((x+a)^k)^{(k)}=k!$

$P_i的k阶导数$

$P_i(x)=a_0+\sum\limits_{k=1}^{n} {a_k}(x-x_0)^{k};$

$对于i阶逼近函数P_i,对其求k阶导数; \\ P_i^{(k)}(x_0)=0+\sum\limits0+a_{k}k!+\sum\limits0=a_kk! \\ 根据约束条件 \\=f^{(k)}{(x_0)} \\从而得到a_k=\frac{f^{(k)}{(x_0)}}{k!}$

n(求导阶数deriv(n))	$f^{(n)}(x);这里f(x)=x^{\alpha}$
1	$\alpha x^{\alpha-1}$
2	$\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}$
3	$\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x^{\alpha-3}$
…	…
n	$(\alpha-0)(\alpha-1)\cdots (\alpha-(n-1))x^{\alpha-n}$= $\alpha=n的时候,f^{(n)}(x)=\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}=n!$

• $\alpha=n的时候,f^{(n)}(x)=\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}=n!$

数列游标公式

• $设自然数序列1,2,3,4,...,p-1,\underset{共计m个元素}{\underbrace{p,...,n}};其中p<n$
• $则我们有p-1=n-m(或者说(p-1)+m=n); \\这样,(p-1)!=(n-m)!; \\ \prod_{k=0}^{m-1}(n-k)=\frac{n!}{(n-m)!}$

三角函数高阶导数

$求sin(kx)的高阶导数时,利用变名诱导公式cos(\phi(x))=sin(\frac{\pi}{2}+\phi(x)) \\ 求cos(kx)的高阶导数时,利用-sin(\phi(x))=cos(\phi(x)+\frac{\pi}{2})$

$\frac{d^n}{dx^n}sin(x)$

n(求导阶数deriv(n))	$f^{(n)}(x);这里f(x)=sin(x)$
1	$cosx$
2	$-sinx$
3	$-cosx$
4	$sinx$$(可以看出,第4次求导的时候已经回到初始函数f(x)=sinx)$
5	$cosx$
…	…

$反复套用cos\phi(x)=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})$

• $对于\phi(x)=ax,sin'(\phi(x))=cos(\phi(x))\phi'(x)=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})\cdot\phi'(x)$

• $对于\phi(x)=ax+\omega,\omega为常数,\phi'(x)=a$
• $sin'(ax)=cos(ax)a=sin(ax+\frac{\pi}{2})\cdot a \tag{R}$

• 可以像递推公式一样反复运用$R算子$

• $\\\phi(x)被不停迭代 \\ sin'(\phi(x))=cos(\phi(x))a=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})\cdot a$

n(求导阶数deriv(n))	$f^{(n)}(x);这里f(x)=sin(x)$
1	$cosx=sin(x+\frac{\pi}{2})$;$即反复套用cos\phi(x)=sin(\phi(x)+\frac{\pi}{2})$
2	$cos(x+\frac{\pi}{2})=sin(x+\frac{\pi}{2}\cdot2)$
3	$cosx(x+\frac{\pi}{2}\cdot2)=sin(x+\frac{\pi}{2}\cdot3)$
…	…
n	$sin(x+\frac{n\cdot\pi}{2})$
…	…

$\frac{d^n}{dx^n}cosx$

n(求导阶数deriv(n))	$f^{(n)}(x);这里f(x)=cos(x)$
1	$-sinx=cos(x+\frac{\pi}{2})$; $即反复套用-sin\phi(x)=cos(\phi(x)+\frac{\pi}{2}),以便保持cos作为函数名$
2	$-sin(x+\frac{\pi}{2})=cos(x+\frac{\pi}{2}\cdot2)$
3	$-sin(x+\frac{\pi}{2}\cdot2)=cos(x+\frac{\pi}{2}\cdot3)$
…	…
n	$sin^{(n)}(ax)=a^nsin(ax+\frac{n\pi}{2}) \\ cos^{(n)}(ax)=a^ncos(ax+\frac{n\pi}{2}) \\而上面两个推导式a=1的特例$

• 类似的可以得到
• $sin^{(n)}(ax)=a^nsin(ax+\frac{n\pi}{2}) \\ cos^{(n)}(ax)=a^ncos(ax+\frac{n\pi}{2}) \\而上面两个推导式a=1的特例$
• 更一般的:
  $sin^{(n)}(ax+\omega)=a^nsin(ax+\omega+\frac{n\pi}{2}) \\ cos^{(n)}(ax+\omega)=a^ncos(ax+\omega+\frac{n\pi}{2})$