math_(函数&数列)极限的含义&误区和符号梳理/邻域&去心邻域&邻域半径

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$\bigstar$极限的含义&误区和符号梳理

$\ast$数列和函数的极限的定义小结

极限的定义&理解$\rhd$

数列极限

• 那么称呼a为数列时的极限

邻域&去心邻域&邻域半径

$设x_0\in\mathbb{R},\delta\gt0,开区间R_\delta=(x_0-\delta,x_0+\delta)称为\underline{x_0的\delta 邻域}, \\点x_0的\underline{去心\delta邻域}记作\mathring{U}(x_0,\delta), \\ \delta称为邻域半径(\delta_{radius}) \\$

函数极限

自变量趋于无穷大时的函数极限

• 函数的极限和数列的极限类似,特别是当的时候

函数自变量趋于有限值时的函数极限

简述版

• 函数自变量趋于有限值的函数极限

$在x\rightarrow x_0的过程中 \\ 给定任意\varepsilon \\存在(可以确定)\delta_{\varepsilon},使得当x满足0<|x-x_0|<\delta_\varepsilon时,即: \\\underline{x\in R_{\delta_{\varepsilon}} =(x_0-\delta_{\varepsilon},x_0+\delta_{\varepsilon})}时,保证 能够满足(\varepsilon提出的要求):|f(x)-a|<\varepsilon, \\即满足\underline{f(x)\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)}$

• 则称呼a为f(x)在自变量$x趋近于x_0$时的极限值:
• $\lim_{x\rightarrow x_0}{f(x)}=a$

函数极限定义中涉及的4个常数(符号)

• $x_0$:自变量x要趋近的值

• 自变量x也可能趋近

• $\delta$:辅助定义特定区间($R_\delta$或$R_{\delta_\varepsilon}$)的常量
• a:极限值
• $\varepsilon$:极限附近(波动)偏差量允许值

• $\varepsilon$用于刻画函数f(x)在给定区间内接近极限值a的程度(任意小(任意苛刻)的允许函数值在a附近的波动范围)

$\delta(为了体现的\delta和\varepsilon之间的联系，我们可以将\delta表示为\delta_{\varepsilon}）用于刻画\underline{特定的条件区间} \\(为了描述方便,区间记为R_{\delta}) \\(譬如刻画一个邻域)表示,任意小的\varepsilon都能够相应的确定(找到)一个满足条件: \\(使特定区间R_{\delta_{\varepsilon}}内的函数值相对于极限a的波动(偏移y=a)的距离不超过\varepsilon) 的\varepsilon值$

任意给定ε 确定δ 区间Rδ

极限的符号化描述和其等价的数学语言描述

以数列的极限wei’li

• 注意,当ε可以任意取(足够小)的时候,才能够体现极限的意义(它刻画了数列在靠近极限的过程的与极限的接近程度)
• N和预先给定的$\varepsilon$有关,但是N不是ε的函数(因为同一个ε可以对应多个(甚至无穷多个)符合条件的N)
• 可以举一个具体的函数例子来辅助理解和辨析

理解极限容易进入的误区&举例

趋近于极限的过程不同于该过程的项越来越接近极限

趋近于极限$\not\Leftrightarrow$越来越接近极限

• 
  

• 这个例子中,$x_1,x_2,x_3,x_4,\dots 分别等于1,\frac{3}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{4}$…

极限的几何含义