math_角函数&反三角函数

三角函数&反三角函数

三角理论参考

• ​​Trigonometric functions - Wikipedia​​
• ​​List of trigonometric identities - Wikipedia​​

wikipedia中文简练版

• ​​1历史​​
• ​​2几何定义​​

• ​​2.1直角三角形中的定义​​
• ​​2.2直角坐标系中的定义​​
• ​​2.3单位圆定义​​

• ​​3基本性质​​

• ​​3.1三角恒等式​​
• ​​3.2微积分​​

• ​​4分析学定义​​

• ​​4.1级数定义​​

• ​​4.1.1与指数函数和复数的联系​​

• ​​4.2较少见的三角函数​​
• ​​4.3微分方程定义​​

• ​​4.3.1弧度的重要性​​

• ​​4.4利用函数方程定义三角函数​​

• ​​5计算​​

• ​​5.1三角函数的特殊值​​

• ​​6反三角函数​​
• ​​7相关定理​​

• ​​7.1正弦定理​​
• ​​7.2余弦定理​​
• ​​7.3正切定理​​
• ​​7.4余切定理​​
• ​​7.5周期函数​​

图像:六种基本的三角函数图像

• 前三种为高中内容
• 后三种为自学内容

三角函数的基本内涵

• 三角函数（英语：Trigonometric functions)是​​数学​​中常见的一类关于​​角度​​的​​函数​​。
• 三角函数将​​直角三角形​​的内角与它的两个边的​​比值​​相关联，也可以等价地用与​​单位圆​​有关的各种线段的长度来定义。
• 三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究振动、波、天体运动以及各种​​周期性现象​​的基础数学工具
• 在​​数学分析​​中，三角函数也被定义为​​无穷级数​​或特定​​微分方程​​的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是​​复数​​值。
• 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为​​三角恒等式​​。
• 三角函数一般用于计算​​三角形​​中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
• 另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做​​双曲函数​​[​​2]​​。

• 常见的双曲函数也被称为​​双曲正弦​​​函数、​​双曲余弦​​函数等等。

直角三角形中的定义

直角坐标系中的定义

单位圆定义(六种基本三角函数)&几何含义

特殊角度的三角函数值表

三角函数间的诱导公式

• 数形结合,利用对对称性来理解$sin(\theta),sin(\pi\pm\theta),sin(2\pi-\theta)$4个值间的关系
• 类似的可以得出$cos\theta$及其变体
  

• 其中(1,6);(2,5);(3,4)各对之间的乘积为1(对于同一个θ角)

• 正弦(sine)*余割(co-secant)=1
• 正割(secant)*余弦(co-sine)=1
• 正切(tangent)*余切(co-tangent)=1

tan·gent	co·tan·gent	se·cant	co·se·cant
/ˈtanjənt/	/kōˈtanjənt/	/ˈsēˌkant,ˈsēˌkənt/	/kōˈsēkənt/
正切	余切	正割	余割

更多(Reflections, shifts, and periodicity)

• $cos\alpha=cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=sin\theta$
• 更一般的,当$\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$时,有

• $cos\alpha=sin\beta \\ sin\alpha=cos\beta$

Reflections

Shifts and periodicity

三角函数相关公式定理

Parity(奇偶性)

(只有cos&sec是偶函数,其余都是奇函数)

• The cosine and the secant are​​even functions​​;
• the other trigonometric functions are​​odd functions​​. That is:

• See also:​​Proofs of trigonometric identities § Angle sum identities​​, and​​Small-angle approximation § Angle sum and difference​​

两角和差公式Angle sum and difference identities

• These are also known as theangle addition and subtraction theorems(orformulae).

β= -β β=α 两角和公式 两角差公式 倍角公式

• 

几何含义

• 为了描述上的方便,我们采用顶点字母来描述线段
• 上图是在一个矩形ABCD,具有如下特点

• AEFD是一个直径为1的园的内接四边形(DE=1,DE是一条直径)
• 分别作:

• AE的延长线(记为直线L1)
• 经过点D且与AE平行的直线(记为直线L2)
• 经过F点的且与AD平行的直线(记为直线L3)

• L1&L2和L3分贝相交于B,C两点
• 这样,我们就得到了矩形ABCD的四个点,确定下来了具有一定特征的一个矩形(可以用来演示倍角公式的推导)

• 前面说到,矩形内的一条线段DE的长度为1,这很重要,(相当于利用单位圆来描述基本的x=cosx,y=sinx)
• 基于这个矩形(不失一般性的)以及内部的各个边(主要是该图中的4个RT三角形),可以求各条线段的长度:

• $\bigtriangleup DEF$中,由于DE=1,$\angle EDF=\beta,EF=sin\beta;DF=cos\beta$,
• 记$\angle CDF=\alpha$,则$sin\alpha=\frac{CF}{DF}=\frac{CF}{cos\beta}$

• 可见,$CF=\sin\alpha\cos\beta$

• 类似的,利用

• 平行线内错角相等以及
• 三角形内角和相等(180度)
• 平行四边形对边相等长等结论

• 可以推出各条边关于$\alpha,β,\alpha+\beta$之间,cos&sin值间的关系

• 例如,利用对边相等CD=AB=AE+EB,对应$\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha\sin\beta$,

• 经过移向,可以写成这样的形式(公式形式):$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

• 将β取值-β,带入和角公式,得到两角差公式

倍角公式

When the two angles are equal, the sum formulas reduce to simpler equations known as the ​​double-angle formulae​​.

$\tan2x=\frac{2sinx\cos x}{cos^2x-sin^2x} =\frac{\frac{2sinxcosx}{cos^2x}}{\frac{cos^2x}{cos^2x}-\frac{sin^2x}{cos^2x}} =\frac{2tanx}{1-tan^2x}$

倍角公式的几何示意图

三角函数积分

• These identities can be used to derive the​​product-to-sum identities​​.
  
• The​​derivatives​​ of trigonometric functions result from those of sine and cosine by applying ​​quotient rule​​. (分式(除式)求导规则)
• The values given for the​​antiderivatives​​ in the following table can be verified by differentiating them.
• The numberC is a ​​constant of integration​​.
• this is the​​tangent half-angle substitution​​, which reduces the computation of ​​integrals​​ ( [ˈɪntɪɡrəl]积分)and ​​antiderivatives​​ (不定积分)of trigonometric functions to that of rational fractions.

反三角函数

​​反三角函数 (wikipedia.org)​​

反三角函数图像

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反三角函数的定义域&值域

sum-to-product(和差化积)

下方的示意图中,有
$cos\theta+cos\varphi=2cos(p)cos(q)=2EF \\ \triangle AFG\cong\triangle FCE \\ AG=FE \\ cosp=\frac{AG}{AF}=\frac{AG}{cosq} \\ \Rightarrow AG=cosp\times cosq$

和(差)化积示意图

• Diagram illustratingsum-to-product identities for sine and cosine.
• The blue right-angled triangle has angle and the red right-angled triangle has angle .
• Both have a hypotenuse of length 1.

• Auxiliary angles, here called and , are constructed such that and .
• Therefore, and .
• This allows the twocongruent(重合一致) purple-outline triangles and to be constructed, each with hypotenuse and angle at their base.
• The sum of the heights of the red and blue triangles is , and this is equal to twice the height of one purple triangle,

• i.e. . Writing and in that equation in terms of and yields the sum-to-product identity for sine.
• Similarly, the sum of the widths of the red and blue triangles yields the correspondingidentityfor cosine.

• $\varphi=p-q;\theta=p+q;p>q$
• $p=\frac{\theta+\varphi}{2} \\ q=\frac{\theta-\varphi}{2}$

product-to-sum (积化和差)

refencen

glossary

formula&formulae

/ˈfɔːmjʊlə/

noun

plural noun: formulae

identity(恒等式)

• MATHEMATICS

• a transformation that leaves an object unchanged.
• an element of a set which, if combined with another element by a specified binary operation, leaves that element unchanged.
  noun:identity element; plural noun: identity elements

• MATHEMATICS

• theequalityoftwo expressionsfor all values of the quantities expressed by letters, or anequationexpressing this, e.g. (x+ 1)2 =x2 + 2x+ 1.

三角函数英文对照

Contents

• ​​1Notation​​
• ​​2Right-angled triangle definitions​​
• ​​3Radians versus degrees​​
• ​​4Unit-circle definitions​​
• ​​5Algebraic values​​

• ​​5.1Simple algebraic values​​

• ​​6In calculus​​

• ​​6.1Definition by differential equations​​
• ​​6.2Power series expansion​​
• ​​6.3Continued fraction expansion​​
• ​​6.4Partial fraction expansion​​
• ​​6.5Infinite product expansion​​
• ​​6.6Relationship to exponential function (Euler’s formula)​​
• ​​6.7Definitions using functional equations​​
• ​​6.8In the complex plane​​

• ​​7Basic identities​​

• ​​7.1Parity​​
• ​​7.2Periods​​
• ​​7.3Pythagorean identity​​
• ​​7.4Sum and difference formulas​​
• ​​7.5Derivatives and antiderivatives​​

• ​​8Inverse functions​​
• ​​9Applications​​

• ​​9.1Angles and sides of a triangle​​

• ​​9.1.1Law of sines​​
• ​​9.1.2Law of cosines​​
• ​​9.1.3Law of tangents​​
• ​​9.1.4Law of cotangents​​

• ​​9.2Periodic functions​​

• ​​10History​​
• ​​11Etymology​​​