一元二次函数@一元二次方程@配方法

文章目录

• abstract
• 一元二次方程

• 求根公式

• 一元二次函数

• 最简单类型一元二次函数
• 抛物线形状
• 函数平移规律
• 一元二次函数的三种形式👺

• 形式转换

• 配方👺

• 解一元二次方程配方

• 判别式

• 一元二次式或函数的配方

• 顶点(对称轴和最值)
• 例

• 根和零点
• 根与系数的关系(韦达定理)👺

• 推导1
• 推导2

• 公式中的分母
• 应用

• 例

• refs

abstract

• 一元二次函数$f(x)=ax^{2}+bx+c$性质,其核心公式如下,便于查阅

1. 配方公式:$ax^{2}+bx+c$=$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$👺

• 对于具体的一元二次多项式,最常用的情形是:当$a=1,c=0$时,$x^2+bx$=$(x+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}$
• 在某些类型的积分中,将一般形式的一元二次式配方,能够使$\sqrt{ax^2+bx+c}$类型的积分容易进行
• 也可以用来证明柯西不等式

2. 顶点:$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$,对称轴$x=-\frac{b}{2a}$,最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$

• 对于一元二次方程需要记住主要是判别式和求根公式,以及韦达定理,方程的配方法不常用

2. 判别式$\Delta=b^2-4ac$
3. 求根公式:${x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$=$\frac {-b\pm {\sqrt \Delta}}{2a}$
4. 根与系数关系(一元二次方程韦达定理):$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$;$x_1x_2=\frac{c}{a}$

• 特别的,当$\Delta=0$,则$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$,这个唯一实根恰好就是对称轴坐标$-\frac{b}{2a}$

• 一元二次方程性质
• 一元二次多项式配方

一元二次方程

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）

一元二次方程的一般形式是
$ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$

其中 $ax^2$ 是二次项，$a$ 是二次项系数；$bx$ 是一次项，$b$ 是一次项系数；$c$

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）。

一元二次方程的解法主要有3类:配方法,公式法,因式分解法

• 配方法是最基础的方法,主要用于证明和推导
• 其中公式法最适合程序设计,实际解一元二次方程也很常用;
• 因式分解法主要针对一些特殊类型的一元二次方程,求解比较快(虽然通用性不足,但是实际遇到的一元二次问题却很有效,特别方程被设计为整数解的情况,我们也可以利用此方法构造一些具有指定解的一元二次方程)

配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为０，再分别使各一次因式等于０．

配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．

总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．

求根公式

实系数一元二次方程在实数和复数范围内的解集

当$a$，$b$，$c$都是实数且$a \neq 0$时，关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$称为实系数一元二次方程。

实数范围内的解集:$x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}$,$(\Delta=b^{2}-4ac\geqslant{0})$(1),当$\Delta<0$时无实数解

方程在复数范围内总是有解的，而且：

1. 当$\Delta = b^2 - 4ac > 0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta = b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta = b^2 - 4ac < 0$时，方程有两个互为共轭的虚数根。

对于求根公式(1),当$\Delta<0$时可以将解进一步变形,其中$\sqrt{b^{2}-4ac}$=$\sqrt{4ac-b^{2}}\ {i}$,从而$x=\frac{-b\pm{\sqrt{4ac-b^{2}}i}}{2a}$=$\frac{-b\pm{\sqrt{|b^{2}-4ac|}}\ i}{2a}$

一元二次函数

• 二次函数（英语：quadratic function）表示形为 $f(x)=ax^{2}+bx+c$（$a\neq 0\,\!$，且$a$、$b$、$c$是常数）的多项式函数

• 其中，$x$为自变量，$a$、$b$、$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
• 二次函数的图形是一条主轴平行于$y$轴的抛物线。

• 二次函数表达式$ax^{2}+bx+c$的定义是一个二次多项式，因为$x$的最高幂次是2。

最简单类型一元二次函数

顶点是原点的一元二次函数是最简单类型的二次函数形如$y=ax^{2}$,$(a\neq{0})$;

其他类型的二次函数可以通过对应的$y=ax^{2}$进行平移得到

抛物线形状

• 一般地，抛物线 $y=ax^2$ 的对称轴是 $y$ 轴，顶点是原点。当 $a>0$ 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当 $a<0$
• 对于抛物线 $y=ax^2$，$|a|$
• 对于更一般的抛物线$y=ax^{2}+bx+c$或$y=a(x-h)^2+k$,$(a\neq{0})$,其形状和$y=ax^{2}$一样,只是位置不一样,通过平移两个函数图像可以重合
• 总之二次函数抛物线的形状取决于二次项系数$a$(包括开口形状和朝向方向)

函数平移规律

• 函数$f(x)$平移$a,(a>0)$个单位后得到的新函数的表达式$g(x)$可以归纳为:左加右减,上加下减

1. 向左平移$g(x)$=$f(x+a)$
2. 向右平移$g(x)$=$f(x-a)$
3. 向上平移$g(x)$=$f(x)+a$
4. 向下平移$g(x)$=$f(x)-a$

• 推导

• 向左移动公式:设$f(x)$上的任意一点$P(x,y)$,则$f(x)$平移后$P$点被移动到$Q(x-a,y)$,新函数$g(x)$满足$g(x-a)$=$f(x)$;用$x+a$代替其中的$x$,得$g(x)=f(x+a)$
• 类似地可以推出其他函数平移公式
• 当$a<0$时,向左移动$a$个单位相当于向右移动$|a|=-a$个单位,套用第2个公式,即$g(x)$=$f(x-|a|)$=$f(x-(-a))$=$f(x+a)$
• 所以无论$a$取何值,向左移动的公式总是$g(x)$=$f(x+a)$,其余公式类似地在$a$取任何值时成立

• 现在,以一元二次函数$f(x)$=$ax^{2}$为例(其顶点为$(0,0)$),若我们要将函数移动到以$(h,k)$为顶点的新函数$g(x)$,则$g(x)$的解析式

• 若$h>0$,则$g(x)$=$a(x-|h|)^{2}+k$=$a(x-h)^{2}+k$
• 若$h<0$,则$g(x)$=$a(x+|h|)^{2}+k$=$a(x-h)^{2}+k$
• 由此可见,无论$h$取何值,$g(x)$=$a(x-h)^{2}+k$

• 反之,$a(x-h)^2+k$这函数表达式可以看出这是一个以$(h,k)$为顶点的抛物线

一元二次函数的三种形式👺

任何一个一元二次函数都可以表示为一般式和顶点式,一般式最为常见,而顶点式最容易看出顶点,因此容易绘制草图(开口朝向,顶点,对称轴);而两点式容易看出函数和$x$轴的交点

• 一般式: $y=ax^2+bx+c$ ($a$, $b$, $c$ 为常数, $a\neq0$)

• $c$是抛物线和$y$轴的交点纵坐标
• 对一般式进行配方可以得到顶点式:$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$=$a(x-(-\frac{b}{2a}))^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

• 顶点式: $y=a(x-h)^2+k$ ($a$, $h$, $k$ 为常数, $a\neq0$)

• 其中 $(h,k)$ 是抛物线的顶点,且$x=h$是对称轴,$k$是函数的极值
• 只要知道函数的顶点,就可以确定顶点式中的$h,k$,再知道其余任意一点$(m,n)$就可以确定$a=\frac{n-k}{(m-h)^{2}}$
• 对于一般式转换为顶点式后,顶点为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})$

• 两点式: $y=a(x-x_1)(x-x_2)$

• ($x_1$, $x_2$ 是二次函数与 $x$ 轴交点的横坐标, $a\neq0$)
• 复数域内$y=0$的两个复数根设$r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$和$r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$，我们可以把$ax^{2}+bx+c\,\!$因式分解为$a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$。

形式转换

• 把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根$r_{1}$和$r_{2}$，或是利用十字交乘法（适用于有理数）。
• 把一般形式转换成标准形式时，我们需要用顶点公式或者配方公式。
• 把因子形式(交点式)转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。
• 根据交点式直接得出一般式,关键在于求$b,c$的表达式

• 先考虑一般式的$b,c$和函数的两个零点$r_{1},r_{2}$的关系
• $f(x)$=$ax^{2}+bx+c$=$a(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$
• 考虑到韦达定理:分别可以推出$b,c$关于$r_{1},r_{2}$的表示式

• $r_1+r_2=-\frac{b}{a}$ $\Rightarrow$ $b=-a(r_1+r_2)$
• $r_1r_2=\frac{c}{a}$ $\Rightarrow$ $c=ar_1r_2$

• $f(x)$=$a(x-r_{1})(x-r_{2})$=$ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$(1)

• 直接展开顶点式整理可得到一般式的各个系数
• 或者根据乘法因式展开以及组合数直接确定展开后$x$的系数和常数项

• $b$=$a(-r_{1}-r_{2})$=$-a(r_{1}+r_{2})$
• $c$=$a(-r_{1})(-r_{2})$=$ar_{1}r_{2}$
• 上述两个式子揭示了一元二次方程根与系数的关系,分别变形可得:$r_{1}+r_{2}$=$-\frac{b}{a}$;$r_{1}r_{2}=\frac{c}{a}$

• 例如$y=2(x-1)(x+2)$=$2x^{2}-2(1+{(-2)})x+2\times{1}\times{(-2)}$=$2x^{2}+2x-4$

• $f(x)=a(x-h)^{2}+k$=$ax^2-2ahx+(ah^2+k)$(2)

• $b=a\binom{2}{1}(-h)=-2ah$;用$h=-\frac{b}{2a}$也可以推得$b=-2ah$
• $c=a\binom{2}{2}(-h)^{2}+k=ah^{2}+k$;用$k=\frac{4ac-b^{2}}{4a}$以及上一步中的$h=-2ah$也可以推出$c=ah^{2}+k$

• 由两个根$r_1,r_2$求顶点坐标$(h,k)$

• $f(x)$=$a(x-r_{1})(x-r_{2})$=$a(x-\frac{1}{2}(r_{1}+r_{2}))^{2}-\frac{1}{4}a(r_{1}-r_{2})^{2}$(3)
• $h$:代表了二次函数的对称轴，因此两根的平均数即为$h=\frac{1}{2}(r_1+r_2)$,对式(1)套用对称轴公式得出同样结论
• $k$:推导$k$的表达式有多种方法

1. 比较顶点式和交点式的常数项$(ar_1r_2=ah^2+k)$后可得$k={a(r_{1}r_{2}-h^{2})}$=$a(r_{1}r_{2}-\frac{1}{4}(r_{1}+r_{2})^{2})$=$\frac{1}{4}a(4r_{1}r_{2}-(r_{1}+r_{2})^{2})$=$\frac{1}{4}a(2r_{1}r_{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2})$=$-\frac{1}{4}a(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2})$=$-\frac{1}{4}a(r_{1}-r_{2})^{2}$
2. 或者根据式(1)的结论套用顶点公式可以分别得到$h,k$关于$a,r_{1},r_{2}$的式子

• $b=-a(r_1+r_2)$,$c=ar_1r_2$
• $h=-\frac{b}{2a}$,$k=\frac{4ac-b^{2}}{4a}$
• 可得$h=\frac{1}{2}(r_1+r_2)$,$k=-\frac{1}{4}a(r_{1}-r_{2})^{2}$

3. 还有更直接的方法:将$x=h=\frac{1}{2}(r_{1}+r_{2})$带入到一元二次函数中计算得到的结果就是$k$,$k$=$a((\frac{1}{2}{(r_{1}+r_{2})-r_{1})(\frac{1}{2}}(r_{1}+r_{2})-r_{2}))$=$-\frac{1}{4}a(r_{1}-r_{2})^{2}$

配方👺

一元二次式配方的依据是完全平方公式$(x+h)^{2}=x^{2}+2hx+h^{2}$,或者说$x^{2}+2hx+h^{2}$=$(x+h)^{2}$

解一元二次方程配方

解一元二次方程时,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
$ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$

移项，得
$ax^2 + bx = -c.$

二次项系数化为1，得
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}.$

配方，得
$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2,$
即
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}. \tag{1}$(1-1) 这个式子就是配方结果,未知数出现的位置被集中起来

因为 $a \neq 0$，所以 $4a^2 > 0$。

解一元二次方程的配方法不常用,它的进一步推导得出的公式法才是比较常用的,配方法主要用来推出公式法,但是不直接使用,解方程的速度上是慢于公式法的

然而一元二次式的配方是比较重要的,和一元二次方程的配方类似,但是有所区别,一元二次是配方可以推出一元二次函数顶点公式,又比用于如证明柯西不等式等

判别式

一般地，式子 $b^2 - 4ac$ 叫做一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 根的判别式，通常用希腊字母$\Delta$示它，$\Delta=b^{2}-4ac$

式子 $\Delta=b^{2}-4ac$

（1）$\Delta> 0$

这时 $\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} > 0$，由式(1-1)得
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

方程有两个不等的实数根
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

合并来写就是$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}$

（2）$\Delta = 0$

这时 $\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0$，由式(1-1)可知，方程有两个相等的实数根
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}.$

（3）$\Delta< 0$

这时 $\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0$，由式(1-1)可知 $(x + \frac{b}{2a})^2 < 0$，而 $x$ 取任何实数都不能使 $(x + \frac{b}{2a})^2 < 0$，因此方程无实数根。

总之$\Delta$和0比较的结果决定了一元二次方程的实根数目(对于复数域,无论$\Delta$取何值,总有2个根(复数根))

一元二次式或函数的配方

将$ax^2+bx+c$化为$a(x-h)^2+k$的形式(顶点式) 就是配方的目的

• 这种形式的式子容易看出该函数的对称轴为$x=h$,顶点为$(h,k)$
• $ax^2+bx+c$=$a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$=$a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}]+c$=$a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c$=$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
• 因此配方公式为$a^2+bx+c$=$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$,(3)且对于顶点$(h,k)$,有$h=-\frac{b}{2a}$,$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

顶点(对称轴和最值)

• 一元二次函数$y=ax^2+bx+c$
• 可见,二次函数$y$的对称轴为$x_s=-\frac{b}{2a}$,最值为$y_s=\frac{4ac-b^2}{4a}$,顶点为$(x_s,y_s)$=$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

例

例:$y=-x^2+x+1$,套用配方公式:$y=-(x+\frac{1}{-2})^2+\frac{-4-1}{-4}$=$-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}$,顶点为$(\frac{1}{2},\frac{5}{4})$

根和零点

• 如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式:$f(x)=ax^{2}+bx+c=0$。该方程的解称为一元二次方程的根或对应的一元二次函数的零点。

根与系数的关系(韦达定理)👺

• 一元二次方程的根与系数的关系,是韦达定理的特殊情形
• 设$ax^{2}+bx+c=0$的根为$x_1,x_2$,则

• $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
• $x_1x_2=\frac{c}{a}$

• 该关系在复数域内都成立,详见多元多项式和韦达定理

推导1

根据求根公式可知，
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
由此可得
$\begin{aligned} & x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a},\\ & x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\frac{(-b)^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}=\frac{c}{a} \end{aligned}$
因此，方程的两个根$x_1，x_2$和系数$a，b，c$有如下关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a} ，x_1x_2=\frac{c}{a}$

推导2

推导1是中学中的方法,虽然容易理解,但是局限性比较大,不容易做推广,求根公式不是证明韦达定理的必须品(特别是5次以上的一元方程没有求根公式)

高等代数中介绍了更一般的韦达定理(描述了一元$n$次方程根与系数的关系),这已经超过中学数学的一般要求

对于$n=2$次的情况的证明前面的章节已给出.

公式中的分母

• 一元二次方程或函数的相关公式有2个分母:

• $2a$:求根公式的分母;对称轴公式分母;两个之和公式的分母
• $4a$:顶点的纵坐标公式

应用

例

• 已知抛物线$y=ax^2-2ax+b$,$(a>0)$,经过$A(2n+3,y_{1})$,$B(n-1,y_2)$

• 若$A,B$分别位于抛物线对称轴的两侧,且$y_1<y_2$,则$n$的取值范围是$\underline{-1<n<0}$
• 分析:含有多个参数,求参数的取值范围,考察了如下内容

• 二次函数的基本性质(对称轴);
• 不等式的基础性质;不等式组;一元二次不等式求解;
• 分类讨论的思想和计算能力

• 解:容易得出抛物线的对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}$=$1$

• 考虑到$A,B$位于对称轴两侧,从而讨论$A,B$一左一右和一右一左的情形
• 当$2n+3<1$且$n-1>1$,结果$n<-1$,$n>2$无解,此种情形被排除
• 当$n-1<1$且$2n+3>1$;结果为$-1<n<2$(1)
• 再考虑$y_1<y_2$,将$A,B$代入到抛物线:$y_1$=$a(2n+3)^2-2a(2n+3)+b$;而$y_2$=$a(n-1)^2-2a(n-1)+b$,化简为$n^2+4n<0$,即$-4<n<0$(2)
• 由(1,2),解不等式组得答案$-1<n<0$

refs

• 二次函数 wikipedia.org