公倍数@最小公倍数相关概念和性质定理

文章目录

• abstract
• 相关概念
• 概念比较
• 负数和正数的公倍数

• 最小公倍数的重要性质和定理
• 定理1
• 定理2
• 定理3
• 定理4 求多个数的最小公倍数

abstract

最小公倍数相关概念及其性质

相关概念

• 设$b_1, b_2, \cdots, b_k$是都不为零的整数，如果整数$d$是每一个$b_j (1\leq j \leq k)$的倍数，则称$d$为$b_1, b_2, \cdots, b_k$的公倍数。
• $b_1, b_2, \cdots, b_k$的公倍数中的最小正数，称为这$k$个数的最小公倍数，记为$[b_1, b_2, \cdots, b_k]$。
• 这里$b_{j}|d$,允许$d/b_{j}$是负数或正数,但是最小公倍数$d$必须是正数

概念比较

为什么最大公约数$(a_{1}，a_{2}，\cdots，a_{n})$的定义中要求$a_{1}，a_{2}，\cdots，a_{n}$不全为零？

• 0是任何数的倍数,也就是任何数都是0的约数,对于全0的$n$个数,不存在最大公约数

为什么最小公倍数$[b_{1}，b_{2}，\cdots，b_{m}]$的定义中要求$b_{1}，b_{2}，\cdots，b_{m}$都不为零？

• 0不作为任何数的约数,任何数乘以0都是0(0的任何倍数都是0),对于包含0的$n$个数,不存在最小公倍数

负数和正数的公倍数

由于整数$b\neq0$与$\left | b \right | $的倍数相同，故有 $\left [ b_{1} , b_{2} ，…，b_{m}\right ] =\left [ \left | b_{1} \right | ,\left | b_{2} \right | ,…,\left | b_{m} \right |\right ] .$

因此在以下讨论中可设$b_{j} （1\leq j\leq m）$是正整数.

最小公倍数的重要性质和定理

定理1

$b_{1} , b_{2} , …，b_{k}$的任一公倍数必是其最小公倍数的倍数.

证明：用反证法.

记$s,b$分别为$b_{1} , b_{2} ，…，b_{k}$的最小公倍数和任一公倍数.

显然$b_{i}|s$,$b_{i}|b$,其中$i=1,2,\cdots,k$

如$s\nmid b$,对这两个公倍数$s,b$做带余除法

则由带余除法可得 $b=qs+r,$ $0< r<s.$

由$r=b-qs$和整除的性质$b_{i}|r$,$(i=1,2,\cdots,k)$,即$r$也是$b_{1} , b_{2} ，…，b_{k}$的公倍数

但$0< r<s$, 这表示$r$是比$s$更小的公倍数,这与已知条件$s$是最小公倍数矛盾.

所以$s|b$

定理2

设$a>0$，$b>0$，则 $\left [ a , b \right ] =\frac{ab}{(a,b)} $.

最大公约数可以用辗转相除法实际算出，该定理给出了最小公倍数的求法.

证明:

欲证明定理,可以将等式变形为:$ab=[a,b](a,b)$

显然$a| (ab) , b| (ab) $, 故$ab$是$a,b$的一个公倍数

结合定理1可知$\left [ a , b \right ] |(ab)$ . 因此可设 $ab=\left [ a , b \right ] s$.
由此，$a=\frac{\left [ a , b \right ] }{b}s , b=\frac{\left [ a , b \right ] }{a}s$, 所以$s| a,s| b$. 因此有$s|(a,b)$.

可以设$(a,b)=sl$,$(l\in\mathbb{Z_{+}})$,于是$ab=[a,b]\frac{(a,b)}{l}.$（1）

另一方面，由$(a,b)|(ab)$，故可设 $ab=(a,b)t$.
由此，$t=\frac{a}{(a,b)}b,\quad t=\frac{b}{(a,b)}a,$所以$b|t,a|t.$又由定理1有$[a,b]|t.$

可以设$t=[a,b]m$,$(m\in\mathbb{Z_{+}})$

于是 $ab=(a,b)[a,b]m.$ （2）
由式(1,2),可得$\frac{1}{l}=m\in\mathbb{Z}$即得$l=m=1$.

定理3

设$m>0$，则$\left[ ma_{1}\right.,$ $ma_{2}] = m\left[a_{1},\right. a_{2}]. $
证明：由定理2及最大公约数性质可得
$[ ma_{1},ma_{2}] = \frac{(ma_{1})(ma_{2})}{(ma_{1}, ma_{2})} = \frac{m^{2}a_{1}a_{2}}{m(a_{1},a_{2})} = m\frac{a_{1}a_{2}}{(a_{1},a_{2})} = m[a_{1}, a_{2}].$

定理4 求多个数的最小公倍数

求$k\left(>2\right)$个数$b_{1}$，$b_{2}$，…，$b_{k}$的最小公倍数也可以用连续求两个数的最小公倍数去完成.

设$\left[b_{1},\right.$ $b_{2}] = s_{2},$ $\left[s_{2},\right.$ $b_{3}] = s_{3},$ … , $\left[s_{k - 1},\right.$ $b_{k}] = s_{k},$则$[b_{1},b_{2},\cdots, b_{k}]$=$s_{k}$(1)

说明:

结论也可以写作$[b_{1},b_{2},\cdots, b_{k}]$=$[[\cdots[[b_{1},b_{2}],b_{3}],\cdots],b_{k}]$(2)

根据该定定理,显然$s_{i}$=$[b_{1},b_{2},\cdots,b_{i}]$(3)

在许多推理和运算中,我们不仅使用(1)或(2)来计算多个数的最小公倍数,还可能逆用公式

$[[\cdots[[b_{1},b_{2}],b_{3}],\cdots],b_{k}]$=$[b_{1},b_{2},\cdots, b_{k}]$(2-1),可以用来去$[\ ]$运算

例如$[[b_{1},b_{2}],b_{3}]$=$[b_{1},b_{2},b_{3}]$

$[[b_{1},b_{2}],[b_{3},b_{4}]]$=$[b_{1},b_{2},[b_{3},b_{4}]]$=$[b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}]$

这与求多个整数的最大公约数时有相仿的结论,求最小公倍数运算满足交换律和结合律

证明：

记$[b_1,b_2,...,b_k]=s$.

由定理条件中的等式串可知,$s_i|s_{i+1}$,$(2\leqslant i\leqslant k-1)$,知$s_i|s_k$,$(2\leqslant i\leqslant k-1)$.

又因为$b_1|s_2,b_i|s_i,2\leqslant i\leqslant k$,所以$s_k$是$b_1,b_2,\cdots,b_k$的一个公倍数.因此有$s|s_k$. (由定理1可得)

另一方面,反复利用定理1，由$b_1|s,b_2|s$知$s_2|s$.同样由$s_2|s,b_3|s$知$s_3|s$.依次类推最后得到$s_k|s$.

于是得到$s=s_k$.