文章目录

  • abstract
  • 引言
  • 逼近
  • 低阶近似
  • 高阶逼近
  • 求解逼近多项式函数
  • 多项式系数的确定
  • 泰勒多项式
  • 泰勒中值定理1
  • 证明
  • 带有Peano余项的泰勒公式
  • Peano余项与近似误差
  • 泰勒中值定理2
  • 证明
  • lagrange余项和误差估算
  • Taylor中值定理2和Lagrange中值定理的关系


abstract

  • 函数逼近的概念
  • 低阶,高阶多项式函数逼近函数逼近
  • 函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式
  • 泰勒中值定理的两种形式和两种余项及其证明
  • Peano型
  • Lagrange型
  • 泰勒中值定理和拉格朗日中值定理的关系

引言

  • 对于一些较复杂的函数,为了便于研究,人们往往希望用一些简单的函数来近似表达
  • 由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加,减,乘三种算术运算,就能够算出他们的函数值,因此多项式是一种理想的用来近似表达(复杂)函数

逼近

  • 用一个容易计算/结构简单的函数来来近似的表达一个复杂的函数,这种近似表达在数学上称为逼近(近似)

低阶近似

  • 由(一阶)微分近似计算公式AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_02可知,当AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_03,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_04时,有AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_05,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_06
  • 上述例子使用简单的一次多项式近似表达非多项式函数的例子
  • 这里的近似局限于AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_07附近(离AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_07较远的点近似效果越差(误差越大))
  • 它们的共同特点是:在被近似函数近似函数在点AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_07处的一阶导数值都是相同的
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_10=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_11=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_12
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_13=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_14=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_12
  • 小结:这种一次多项式近似的精度不高,因为它差生的误差仅是关于AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_16的高阶无穷小

高阶逼近

  • 为了提高精度,可以尝试用更高次的多项式来逼近被近似函数,这个问题可以描述为:
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_17AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_18处具有AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_19阶导数,试找出一个关于AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_20AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_19次多项式(不妨称为逼近多项式函数,简称逼近多项式或多项式)
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_22=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_23=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_24(0)
  • 并且要求AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_25AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_17是当AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_27时比AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_28(0-1)高阶的无穷小AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_29
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_31次多项式AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_32来逼近,则称AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_32AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_31阶逼近多项式
  • 泰勒公式使用使用多项式AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_36(polynominal)来逼近一个给定函数AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30;
  • 我们用AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_38=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_39来描述逼近AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30的过程:
  • 例如
  • 一阶近似:
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_41=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_42
  • 二阶近似:
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_43
  • …(更高精度的逼近函数)

求解逼近多项式函数

  • 确定AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_31阶逼近多项式AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_32,就是要确定AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_32AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_48个系数系数

多项式系数的确定

  • 由于被逼近函数AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_49和逼近多项式函数AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_50是逼近的或者相似的,则两个函数应该存在某些共性
  • 参考一阶微分近似,在点AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_51处的函数值和导数对应相等:
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_52,
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_53
  • 因此假设高阶逼近中AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_50AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_49AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_51处的函数值和AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_57阶导数都对应相同
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_58,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_59(1)
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_60(1-1)
  • 下面利用高阶求导公式AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_61=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_62=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_63来计算AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_64的各项和整体(在AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_51处)导数
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_66AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_67=0
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_68时,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_69
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_70阶逼近函数AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_71,令AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_72(2),AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_73,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_74
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_75(2-1)
  1. =AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_76,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_77
  2. =AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_78,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_79
  3. =AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_80,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_81
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_82(2-2)
  1. =AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_76,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_77
  2. =AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_78,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_79
  3. =AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_76,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_81
  • 可见AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_50的第AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_90AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_91AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_51处的AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_90阶导,只有AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_94次项的导数非0
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_95=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_96=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_97(3)
  • 把(3)代入(1)式,得AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_98,可得AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_99=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_100,(4)AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_101
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_102时,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_103,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_104=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_17(零次导相当于不求导)

泰勒多项式

  • 现在,式(0)可以改写为AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_106=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_107=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_108(5)
  • 这个公式经常展开写:AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_109+AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_110(5-1)
  • 式(5)(或(5-1))称为泰勒多项式,具体的称为:
  • 函数AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_17AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_112的**AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_19次泰勒多项式**,或者称"AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_114的幂展开"的AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_19次泰勒多项式
  • 显然AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_60,这就是式(1-1),因此该条件包含于条件(1)

泰勒中值定理1

  • 若函数AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_118处具有AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_31阶导数,那么AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_120,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_121,有:AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_108+AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_124(6)成立(其中AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_125(7)
  • 定理的另一种表述:若AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30表示成式(6),则有式(7)成立
  • 式(6)可以写成:AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_127(8),即AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_128(8-1)
证明
  • 由式(1)可知AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_129,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_130
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_131=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_132 =AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_133(8-2)
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_134的可导性:
  • 由于AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_17AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_18处有AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_19阶导数,因此AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_17必在AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_18的某邻域内存在AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_140阶导(有高阶导则必有低阶导)
  • 从而AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_141也在该邻域内有AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_140阶导数
  • 为了证明式(7),构造AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_143,这是一个AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_144时的AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_145型未定式,反复运用洛必达法则:
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_146=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_147=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_148=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_132=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_150=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_151=0
  • 可见,式(7)成立,从而定理成立
带有Peano余项的泰勒公式
  • 式(6)称为AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_118处(或按AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_154的幂展开)的带有Peano余项的AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_31阶泰勒公式
Peano余项与近似误差
  • 式(7)称为Peano余项
  • 它是AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_31次泰勒多相似来近似AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30所产生的误差,这个误差是比AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_158高阶的无穷小

泰勒中值定理2

  • 若函数AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_118处具有AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_48阶导数,那么AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_120,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_121,有:AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_108+AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_124(9-T)(即式(6))成立
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_141=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_168=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_169(9),AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_170AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_171之间的某个值,即AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_172AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_173
  • 虽然AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_174脚标为AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_175但是其展开式是AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_176,因此还可以记为AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_177
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_178(9-0),因为AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_179AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_175次多项式,其AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_175阶导数为常数,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_176阶导数为0
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_183(9-0-1)
  • 和定理1不同的地方在于,定理2要求AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_18AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_17AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_186阶导数(P1)
  • 这个形式的余项和AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_187=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_188,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_189(拉格朗日有限增长定理形式上有相似性)
证明
  • 证明定理2只需要证明式(9)成立,定理1的证明反复使用洛必达法则,定理2的证明则反复使用柯西中值定理
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_124=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_191(9-1)(和式(8)一样)
  • 由条件(P1)可知,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_141AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_193内具有AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_186阶导数,且同样有式(8-2)
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_141AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_196=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_197(9-1-1)两个函数在AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_171为端点的区间(不妨记为AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_199,(例如取AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_200上满足柯西定理条件,从而由柯西中值定理,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_201=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_202(9-2)
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_203,以及式(8-2),等号左边表示为AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_204,从而AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_204=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_206(9-2-1)
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_207,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_208AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_209上应用柯西中值定理相仿,对AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_210,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_211在区间AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_212上应用柯西中值定理得:AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_213=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_214(9-2-2),AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_215
  • 比较(9-2-1),(9-2-2),两式相等,即AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_216=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_217
  • 事实上,按照次方法执第AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_186次后,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_219=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_220=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_221(9-2-(n+1)),(AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_222);显然,AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_223
  • 即:AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_204=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_213=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_214=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_132=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_228,(记AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_229=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_170)
  • 由(9-0-1),得AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_219=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_232,即AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_141=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_算术运算_234=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_169,这就是式(9)
  • 式(9-T)称为AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_多项式_30AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_118处(或按AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_微分_154得幂展开)得带有Lagrange余项的AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_31阶泰勒公司和
  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_124的表达式(9)称为Lagrage余项
lagrange余项和误差估算
  • 上述定理(泰勒定理1)告诉了我们AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_241,但是该定理并不能具体估算误差大小
  • 估算具体误差可以借助另一种余项的泰勒定理来解决:AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_124=AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_高精度_243

Taylor中值定理2和Lagrange中值定理的关系

  • AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_244时,式(9-T)为0阶Largrange型泰勒公式,即AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式_泰勒中值定理_245,这同时也是Lagrange中值公式
  • 这表明,Taylor中值定理2是Lagrage中值定理的推广