AM@函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式

文章目录

• abstract

• 引言
• 逼近
• 低阶近似
• 高阶逼近

• 例

• 求解逼近多项式函数

• 多项式系数的确定
• 泰勒多项式
• 泰勒中值定理1

• 证明
• 带有Peano余项的泰勒公式
• Peano余项与近似误差

• 泰勒中值定理2

• 证明
• lagrange余项和误差估算

• Taylor中值定理2和Lagrange中值定理的关系

abstract

• 函数逼近的概念
• 低阶,高阶多项式函数逼近函数逼近
• 函数的多项式逼近表示@泰勒中值定理@泰勒多项式@泰勒公式
• 泰勒中值定理的两种形式和两种余项及其证明

• Peano型
• Lagrange型

• 泰勒中值定理和拉格朗日中值定理的关系

引言

• 对于一些较复杂的函数,为了便于研究,人们往往希望用一些简单的函数来近似表达
• 由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加,减,乘三种算术运算,就能够算出他们的函数值,因此多项式是一种理想的用来近似表达(复杂)函数

逼近

• 用一个容易计算/结构简单的函数来来近似的表达一个复杂的函数,这种近似表达在数学上称为逼近(近似)

低阶近似

• 由(一阶)微分近似计算公式$f(x)\approx f(x_0)+\mathrm{d}y$=$f(x_0)+f$可知,当$x_0=0$,$|x-x_0|=|x|\to{0}$时,有$e^{x}\approx{1+x}$,$\ln{(1+x)}\approx{x}$
• 上述例子使用简单的一次多项式近似表达非多项式函数的例子

• 这里的近似局限于$x=0$附近(离$x=0$较远的点近似效果越差(误差越大))
• 它们的共同特点是:在被近似函数和近似函数在点$x=0$处的一阶导数值都是相同的

• $(e^{x})$=$(1+x)$=$1$
• $(\ln(1+x))$=$(x)$=$1$

• 小结:这种一次多项式近似的精度不高,因为它差生的误差仅是关于$x$的高阶无穷小

高阶逼近

• 为了提高精度,可以尝试用更高次的多项式来逼近被近似函数,这个问题可以描述为:

• 设$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数,试找出一个关于$(x-x_0)$的$n$次多项式(不妨称为逼近多项式函数,简称逼近多项式或多项式)

• $p_{n}(x)$=$a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^{n}$=$\sum_{i=0}^{n}a_i(x-x_0)^{i}$(0)

• 并且要求$p_{n}(x)$和$f(x)$之差是当$x\to{x_0}$时比$(x-x_0)^{n}$(0-1)高阶的无穷小$o((x-x_0)^{n})$

• 若$f(x)$用$n$次多项式$p_{n}(x)$来逼近,则称$p_{n}(x)$时$f(x)$的$n$阶逼近多项式

例

• 泰勒公式使用使用多项式$p$(polynominal)来逼近一个给定函数$f(x)$;
• 我们用$p_i$=$p_{i}(x)$来描述逼近$f(x)$的过程:
• 例如

• 一阶近似:

• $p_1=f(x_0)+f$=$a_0+a_1(x-x_0)$

• 二阶近似:

• $p_2=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2$

• …(更高精度的逼近函数)

求解逼近多项式函数

• 确定$f(x)$的$n$阶逼近多项式$p_{n}(x)$,就是要确定$p_{n}(x)$的$n+1$个系数系数

多项式系数的确定

• 由于被逼近函数$f(x)$和逼近多项式函数$p_{n}(x)$是逼近的或者相似的,则两个函数应该存在某些共性
• 参考一阶微分近似,在点$x_0$处的函数值和导数对应相等:

• $p_{1}(x_0)=f(x_0)$,
• $p_1$

• 因此假设高阶逼近中$p_{n}(x)$和$f(x)$在$x_0$处的函数值和$i(i=1,\cdots,n)$阶导数都对应相同

• $P_n^{(i)}{(x_0)}=f^{(i)}{(x_0)}$,$i=1,\cdots,n$(1)
• $p_{n}(x_0)=f(x_0)$(1-1)

• 下面利用高阶求导公式$((x-x_0)^{k})^{(n)}$=$k(k-1)\cdots{(k-n+1)}(x-x_0)^{k-n}$=$T_{k}^{(n)}(x)$来计算$p_{n}$的各项和整体(在$x_0$处)导数

• $k<n$时$T_{k}^{(n)}$=0
• $k=n$时,$T_{k}^{(n)}=n!$

• $n$阶逼近函数$p_n(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i(x-x_0)^{i}$,令$T_{k}=[a_{k}(x-x_0)^{k}]$(2),$(k=0,1,2,\cdots,n)$,$p_{n}(x)=\sum_{i=k}^{n}T_{k}(x)$

• $T_{k}^{(i)}(x)$(2-1)

1. =$0$,$k<i$
2. =$a_{k}k!$,$k=i$
3. =$a_{k}[k(k-1)\cdots{(k-n+1)}(x-x_0)^{k-n}]$,$k>i$

• $T_{k}^{(i)}(x_0)$(2-2)

1. =$0$,$k<i$
2. =$a_{k}k!$,$k=i$
3. =$0$,$k>i$

• 可见$p_{n}(x)$的第$i$项$T_{k}^{(i)}(x)$在$x_0$处的$i$阶导,只有$k=i$次项的导数非0
• $p_{n}^{(i)}(x_0)$=$\sum_{k=0}^{n}T_{k}^{(i)}(x_0)$=$T_{i}^{i}(x_0)=a_ii!$(3)
• 把(3)代入(1)式,得$a_ii!=f^{(i)}(x_0)$,可得$a_i$=$\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)$,(4)$i=0,1,2,\cdots,n$

• 当$i=0$时,$a_0=f(x_0)$,$f^{(0)}(x)$=$f(x)$(零次导相当于不求导)

泰勒多项式

• 现在,式(0)可以改写为$p_n(x)$=$\sum_{k=0}^{n}a_k(x-x_0)^{k}$=$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^{k}$(5)
• 这个公式经常展开写:$p_n(x)=f(x_0)+f$+$\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n}$(5-1)
• 式(5)(或(5-1))称为泰勒多项式,具体的称为:

• 函数$f(x)$在$x_0$处的**$n$次泰勒多项式**,或者称"按$(x-x_0)$的幂展开"的$n$次泰勒多项式
• 显然$p_{n}(x_0)=f(x_0)$,这就是式(1-1),因此该条件包含于条件(1)

泰勒中值定理1

• 若函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数,那么$\exist{U(x_0)}$,$\forall{x\in{U(x_0)}}$,有:$f(x)$=$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^{k}$+$R_{n}(x)$(6)成立(其中$R_{n}(x)=o((x-x_0)^{n})$(7)
• 定理的另一种表述:若$f(x)$表示成式(6),则有式(7)成立

• 式(6)可以写成:$f(x)=p_{n}(x)+R_{n}(x)$(8),即$R_{n}(x)=f(x)-p_n(x)$(8-1)

证明

• 由式(1)可知$R_n^{(k)}(x)|_{x=x_0}=f^{(k)}(x)|_{x=x_0}-p_n^{(k)}(x)|_{x=x_0}=0$,$k=1,2,\cdots,n$

• 即$R_n(x_0)=R_{n}$=$\cdots$ =$R_{n}^{(n)}(x_0)=0$(8-2)

• $R_n(x)$的可导性:

• 由于$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数,因此$f(x)$必在$x_0$的某邻域内存在$n-1$阶导(有高阶导则必有低阶导)
• 从而$R_{n}(x)$也在该邻域内有$n-1$阶导数

• 为了证明式(7),构造$g(x)=\frac{R_{n}(x)}{(x-x_0)^{n}}$,这是一个$x\to{x_0}$时的$\frac{0}{0}$型未定式,反复运用洛必达法则:

• $\lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n}}$=$\lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_n$=$\lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_{n}$=$\cdots$=$\lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_{n}^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}$=$\lim\limits_{x\to{x_0}}\frac{R_{n}^{(n)}(x)}{n!}$=0
• 可见,式(7)成立,从而定理成立

带有Peano余项的泰勒公式

• 式(6)称为$f(x)$在$x_0$处(或按$(x-x_0)$的幂展开)的带有Peano余项的$n$阶泰勒公式

Peano余项与近似误差

• 式(7)称为Peano余项
• 它是$n$次泰勒多相似来近似$f(x)$所产生的误差,这个误差是比$(x-x_0)^{n}$高阶的无穷小

泰勒中值定理2

• 若函数$f(x)$在$x_0$处具有$n+1$阶导数,那么$\exist{U(x_0)}$,$\forall{x\in{U(x_0)}}$,有:$f(x)$=$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^{k}$+$R_{n}(x)$(9-T)(即式(6))成立

• 且$R_{n}(x)$=$T_{n+1}$=$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$(9),$\xi$是$x_0,x$之间的某个值,即$\xi\in{(x_0,x)}$或$(x,x_0)$

• 虽然$R_n(x)$脚标为$n$但是其展开式是$n+1$,因此还可以记为$T_{n+1}$
• $p_{n}^{(n+1)}(x)=0$(9-0),因为$p_n$是$n$次多项式,其$n$阶导数为常数,$n+1$阶导数为0
• $R_{n}^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(\xi)$(9-0-1)

• 和定理1不同的地方在于,定理2要求$x_0$处$f(x)$有$n+1$阶导数(P1)
• 这个形式的余项和$\Delta{y}=f$=$f$,$\xi\in$(拉格朗日有限增长定理形式上有相似性)

证明

• 证明定理2只需要证明式(9)成立,定理1的证明反复使用洛必达法则,定理2的证明则反复使用柯西中值定理
• 记$R_{n}(x)$=$f(x)-p_{n}(x)$(9-1)(和式(8)一样)

• 由条件(P1)可知,$R_{n}(x)$在$U(x_0)$内具有$n+1$阶导数,且同样有式(8-2)
• 对$R_{n}(x)$和$g(x)$=$(x-x_0)^{n+1}$(9-1-1)两个函数在$x_0,x$为端点的区间(不妨记为$\Delta_1=\Delta({x_0,x})$,(例如取$\Delta_1=[x_0,x],(x_0<x)$上满足柯西定理条件,从而由柯西中值定理,$\frac{R_{n}(x)-R_{n}(x_0)}{g(x)-g(x_0)}$=$\frac{R_{n}$(9-2)
• 由$g(x_0)=0$,以及式(8-2),等号左边表示为$\frac{R_{n}(x)}{g(x)}$,从而$\frac{R_{n}(x)}{g(x)}$=$\frac{R_{n}$(9-2-1)
• 与$R_{n}^{(0)}(x)$,$g^{(0)}(x)$在$\Delta(x_0,x)$上应用柯西中值定理相仿,对$R_{n}^{(1)}(x)$,$g^{(1)}(x)$在区间$\Delta_2(x_0,\xi_1)$上应用柯西中值定理得:$\frac{R$=$\frac{R_{n}$(9-2-2),$(\xi_2\in\Delta_2)$

• 比较(9-2-1),(9-2-2),两式相等,即$\frac{R_{n}(x)}{g(x)}$=$\frac{R_{n}$

• 事实上,按照次方法执第$n+1$次后,$\frac{R_n(x)}{g(x)}$=$\frac{R_{n}^{(n+1)}(\xi)}{g^{(n+1)}(x)}$=$\frac{R_{n}^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$(9-2-(n+1)),($\xi\in\Delta_{n+1}(x_0,\xi_n)$);显然,$\xi\in(x_0,x)$
• 即:$\frac{R_{n}(x)}{g(x)}$=$\frac{R$=$\frac{R_{n}$=$\cdots$=$\frac{R_{n}^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}$,(记$\xi_{n+1}$=$\xi$)
• 由(9-0-1),得$\frac{R_n(x)}{g(x)}$=$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$,即$R_{n}(x)$=$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}g(x)$=$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$,这就是式(9)

• 式(9-T)称为$f(x)$在$x_0$处(或按$(x-x_0)$得幂展开)得带有Lagrange余项的$n$阶泰勒公司和
• 而$R_{n}(x)$的表达式(9)称为Lagrage余项

lagrange余项和误差估算

• 上述定理(泰勒定理1)告诉了我们$R_n(x)=o((x-x_0)^{n})$,但是该定理并不能具体估算误差大小
• 估算具体误差可以借助另一种余项的泰勒定理来解决:$R_{n}(x)$=$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

Taylor中值定理2和Lagrange中值定理的关系

• 当$n=0$时,式(9-T)为0阶Largrange型泰勒公式,即$f(x)=f(x_0)+f$,这同时也是Lagrange中值公式
• 这表明,Taylor中值定理2是Lagrage中值定理的推广