LA@常见特殊类型矩阵@伴随矩阵@方阵的性质@余子式

文章目录

• 常见特殊类型矩阵@伴随矩阵@方阵的性质@余子式

• 常见的矩阵(方阵)

• 单位阵
• 数量阵
• 对角阵
• 方阵
• 三角阵

• 上三角
• 下三角

• 三角行列式

• 概念
• 主对角线三角行列式
• 副对角线三角行列式
• 特殊的拉普拉斯`行列式`展开🎈

• refs
• 余子式@代数余子式🎈

• 代数余子式和余子式的区别
• 行列式的展开
• 性质:交错乘结果为0🎈

• 伴随矩阵和可逆矩阵🎈
• 例

• 符号矩阵计算方阵伴随矩阵的计算🎈

• 符号矩阵

• 符号矩阵的扩张规则
• 小结

• n阶方阵@行列式性质🎈

• 方阵取行列式操作@方阵乘积取行列式
• 可逆矩阵@矩阵的逆🎈

• n阶矩阵A可逆的充要条件
• 可逆矩阵的性质🎈

• 伴随运算@伴随矩阵的公式🎈

常见特殊类型矩阵@伴随矩阵@方阵的性质@余子式

常见的矩阵(方阵)

• 方阵(n阶矩阵)

• 对角阵

• 数量阵

• 单位阵

• 三角阵

单位阵

• n阶单位阵记为$E_n$

数量阵

• n阶数量阵记为$kE_n$

对角阵

• 记为$\Lambda=diag[a_1,a_2,\cdots{a_n}]$

方阵

• n阶方阵,即$n\times{n}$的矩阵
• $记为A=[a_{ij}]_{n\times{n}},简记为[a_{ij}]_{n}$

三角阵

• Triangular matrix - Wikipedia

上三角

• upper triangular
• $当i>j,则a_{ij}=0$的矩阵是上三角矩阵(方阵)

• 非0元素只存在于对角线以及对角线上方的区域
• 对角线下侧的所有元素都为0

下三角

• lower triangular
• $当i<j,则a_{ij}=0的矩阵是下三角矩阵(方阵)$

三角行列式

概念

• Main diagonal - Wikipedia
• 主对角线(main diagonal)

• In linear algebra, the main diagonal (sometimes :principal diagonal, primary diagonal, leading diagonal, major diagonal, or good diagonal) of a matrix A is the list of entries $a_{ij}$where$i=j$.
• All off-diagonal elements are zero in a diagonal matrix.

• 副对角线(antidiagonal)

• The antidiagonal (sometimes counter diagonal, secondary diagonal, trailing diagonal, minor diagonal, off diagonal, or bad diagonal) of an order N square matrix B(N阶方阵B) is the collection of entries $b_{ij}$,such that $i+j=N+1$ for all $1\leqslant{i,j}\leqslant{N}$.
• That is ,it runs from the top right corner to the bottom left corner.

主对角线三角行列式

• 三角形行列式

• 记为$A_{TD}$(triangular determinant)

• 三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
• $|A_{TD}|=\prod\limits_{i=1}^{n}a_{ij}$
• $\\ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11}& & & \\ a_{21}& a_{22}& & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\=(-1)^{\tau{(12\cdots{n})}}a_{11}a_{22}\cdots{a_{nn}} =a_{11}a_{22}\cdots{a_{nn}}$

副对角线三角行列式

• $|A_{ATD}|=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\prod\limits_{i=1}^{n}a_{ij}$
• $\\ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots &a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots &a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots \\ a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&\cdots&0&0\\ a_{n1}& 0& \cdots &0 &0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0&0& \cdots &0 & a_{1n} \\ 0& 0&\cdots &a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots \\ 0&a_{n-2,2}&\cdots&a_{n-2,n-2}&a_{n-2,n}\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots &a_{n,n-1} &a_{n,n} \end{vmatrix} \\ =(-1)^{\tau(n\cdots21)}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots{a_{n1}} \\ =(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots{a_{n1}}$

• $\tau(n\cdots{21})=\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\frac{1}{2}n(n-1)$

特殊的拉普拉斯行列式展开🎈

• 设方阵A是m+n阶的$A_{m+n}$
• $\begin{vmatrix} A_m&R \\ O&B_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_m& O\\ R&B_n \end{vmatrix} =|A_m|\cdot|B_n|$

• $O$分布在副对角线上

• $\begin{vmatrix} O&A_m \\ B_n&R \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} R&A_m \\ B_n&O \end{vmatrix} =(-1)^{mn}|A_m|\cdot|B_n|$

• $O$分布在主对角线上

refs

• Minor (linear algebra) - Wikipedia
• 子式和余子式 (wikipedia.org)

余子式@代数余子式🎈

• 设n阶行列式:

• $\begin{vmatrix} a_{11}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

• 子式:在线性代数中，一个矩阵A的子式是指将A的某些行与列的交点组成的方阵的行列式；
• 余子式:A的余子式（又称余因式，英语：minor）是指将方阵A的某些行与列去掉之后所余下的方阵的行列式

• 其相应的方阵有时被称为余子阵。
• 可以对n阶方阵和n阶行列式取余子式
• 但注意非方阵(行数和列数不等的矩阵)是没有余子式!(由余子式的定义可知,原矩阵去掉某行某列后剩余的部分要计算行列式,如果$m\neq{n}$,$m-1\neq{n-1}$,无法计算行列式)
• 而伴随矩阵是由代数余子式

• 将方阵A的一行与一列去掉之后所得到的余子式可用来获得相应的代数余子式（英语：cofactor），后者在可以通过降低多阶矩阵的阶数来简化矩阵计算，并能和转置矩阵的概念一并用于逆矩阵计算。
• 元素$a_{ij}$的余子式(minor),通常记为$M(a_{ij})=M_{ij}$

• $M_{ij}= \begin{vmatrix} a_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots& & \vdots &\vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1}& \cdots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1}& \cdots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots& & \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}_{n-1}$

• 元素$a_{ij}的$代数余子式(cofactor)可以记为$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

• 有时也记为$A_{ij}$(Algebraic cofactor)

• 余子式和代数余子式都是一个数

代数余子式和余子式的区别

• 余子式只计算去掉某行某列之后剩余行列式的值，
• 而代数余子式则需要考虑去掉的这一个元素对最后值正负所产生的影响。
• 对于n阶行列式而言,其包含的$n\times{n}$个元素都有各自的余子式和代数余子式

In linear algebra, a minor of a matrix A is the determinant of some smaller square matrix, cut down from A by removing one or more of its rows and columns. Minors obtained by removing just one row and one column from square matrices (first minors) are required for calculating matrix cofactors, which in turn are useful for computing both the determinant and inverse of square matrices.

行列式的展开

• 对于n阶行列式$|A|$
• 行列式按行展开(第i行展开)

• $|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}C_{ik},i=1,2,\cdots,n$

• $a_{ik}$是行列式元素
• $C_{kj}$(或者写作$A_{kj}$)是$a_{kj}$关于行列式|A|的代数余子式,是一个数

• $C_{kj}=(-1)^{k+j}M_{kj}$

• 按列展开类似

• $|A|=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}C_{kj},j=1,2,\cdots,n$

性质:交错乘结果为0🎈

• 融合上述写法:
• $T=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}C_{jk}=\sum_{k=1}^{n}a_{ki}C_{kj} =\begin{cases} 0,i=j \\|A|,i\neq{j} \end{cases} \\i,j=1,2,\cdots,n \\a_{ik}C_{jk}和a_{ki}C_{kj}下标k位置是对应的$
• 可以推导伴随矩阵的性质$AA^*=|A|E$

伴随矩阵和可逆矩阵🎈

• $A_{n\times{n}}= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \\A^*_{n\times{n}}=(A_{ij})^T_{n\times{n}} =\begin{pmatrix} A_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1} \\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} \\A_{ij}表示a_{ij}关于方阵A=(a_{ij})_{n\times{n}}的代数余子式 \\(A_{ij})_{n\times{n}}表示方阵A的代数余子式矩阵 \\(A_{ij})^T_{n\times{n}}是方阵A的伴随矩阵$
• $AA^*=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1} \\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix} |A|& 0& \cdots &0 \\ 0& |A|& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & |A| \end{pmatrix}=|A|E \\ A^*A=\begin{pmatrix} A_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1} \\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}=|A|E \\AA^*=A^*A=|A|E$
• $设A可逆,AA^{-1}=E,AA^*=A^*A=|A|E \\(\frac{1}{|A|}A^*)A=(A\frac{1}{|A|})A^*=E \\ \boxed{A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* } \\\boxed{(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A}$
• 矩阵A是可逆的充要条件是$|A|\neq{0}$,当A可逆时,$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

• 若A可逆,则存在$B=A^{-1}$,使得$AB=E$

• 两边同取行列式:$|AB|=|E|,即|A||B|=1$
• 可见$|A|,|A^{-1}|\neq{0}$

• 若$|A|\neq{0}$,则由$AA^*=A^*A=|A|E$可知

• $A(\frac{1}{|A|}A^*)=(\frac{1}{|A|}A^*)A=E$,即矩阵A可逆,且$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

• 若$A,B$都是n阶矩阵,且$AB=E$,则A,B均可逆(且A,B互为逆矩阵:$A^{-1}=B,B^{-1}=A$)

• 对$AB=E$两边同取行列式,得到$|A||B|=|E|=1$,说明$|A|,|B|\neq{0}$,A,B均可逆($A^{-1},B^{-1}$均存在)
• 对$AB=E$同时左乘$A^{-1}$,得到$B=A^{-1}$
• 对$AB=E$同时右乘$B^{-1}$,得到$A=B^{-1}$
• 所以$A^{-1}=B,B^{-1}=A$

例

• 对于可逆矩阵,可用一下公式求解二阶矩阵的可逆矩阵的逆矩阵

• $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \\其中A^*由A将主对角线对调,取副对角线的相反数得到$

• 对于三阶以及更高阶的可逆方阵,采用初等变换法求解逆矩阵!

符号矩阵计算方阵伴随矩阵的计算🎈

符号矩阵

• 对于n阶方阵:

• 余子式方阵记为$M_m$
• 代数余子式方阵记为$M_{c}$
• $M_{c}$可以由两个同型方阵:符号方阵S和余子式方阵$M_m$元素对应乘积再转置(记为$M_{ac}=(S\odot M_{m})^T$得到

• $S =\begin{pmatrix} +1&-1&+1\\ -1&+1&-1\\ +1&-1&+1\\ \end{pmatrix}$
• 所谓结合$\odot$,就是元素对应乘积(Hadamard product)

• $M_{c}=c_{ij}=s_{ij}\cdot{r_{ij}},i,j=1,2,\cdots,{n}$

符号矩阵的扩张规则

• $s_{ij}=(-1)^{i+j}$
• 构造符号矩阵的时候可以批量进行

• 所有同阶的符号矩阵都是一致的
• 高阶符号矩阵的右上角就是低阶符号矩阵
• 只要确定第一个元素为1,后面的所有元素就都唯一地被确定下来

• 利用相邻元素取符号这个规则张开符号矩阵
• 可以逐行构造符号矩阵

• 首先确定第一列的各个元素

• $s_{i,1}=s_{i-1,1}$

• 然后逐行填写每行元素

• 填写$s_{i,j}=-s_{i,j-1}$
• 也即是说,填写一个元素时,可以统一看它的前一个元素是什么,取相反数即可

1	-1	1	-1
-1	1	-1	1
1	-1	1	-1
-1	1	-1	1

• 通常不超过3阶的矩阵我们才考虑使用伴随矩阵法来求解(否则计算量过大)
• 从表格可以看出,4阶可逆方阵的伴随矩阵的各个元素的符号($\pm$)矩阵
• 由于其对称性,转置之后表格不发生改变

小结

• 表格中的元素的相邻元素符号取反

• 这很有用,由于这个规律,我们可以一行行的从表格的第一个元素推导出来

• 可以先确定首行和首列
• 然后其他元素按照你的喜欢,一列列补全或者一行行补全

• 主对角线上的元素的符号全部为正

• 因为住对角线上的元素的位置序对有j=i,即(i,i),所以i+j=i+i=2i(偶数)

• 计算完符号矩阵,开始计算各个元素的余子式部分的值,并填充到相应的位置.

n阶方阵@行列式性质🎈

方阵取行列式操作@方阵乘积取行列式

• 若A是n阶矩阵:

• $A^{T}$是A的转置矩阵,则$|A^T|=|A|$
• $|kA|=k^n|A|$
• 若B是n阶矩阵,$|AB|=|A||B|$

• 特别的:$|A^2|=|A|^2$
• 对于可逆矩阵A,$AA^{-1}=E$,对其两边去行列式:$|A||A^{-1}|=|E|=1$,从而$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=|A|^{-1}$

• 更一般的:$|A^n|=|A|^n$

• $|A_1A_2\cdots{A_n}|=|A_1||A_2|\cdots{|A_n|} \\ 或\prod_{i=1}^{n}A_i=\prod_{i=1}^{n}|A_{i}|$

可逆矩阵@矩阵的逆🎈

• 矩阵和实数相仿,具有加/减/乘三种运算
• 数的乘法的逆运算是除法,相对应矩阵乘法的逆运算用矩阵的逆来描述

• 数a的倒数:$a^{-1}=\frac{1}{a}$,$aa^{-1}=1$
• 可逆矩阵A的逆:$A^{-1}满足AA^{-1}=E$
• numpy.matrix.transpose — NumPy v1.24 Manual

• 若A可逆,则A的逆矩阵唯一
• A可逆$\Leftrightarrow|A|\neq{0}$
• 设$A,B$是n阶矩阵且$AB=E,则BA=E$(A,B互为逆矩阵)

n阶矩阵A可逆的充要条件

• 存在n阶矩阵B,使得$AB=E或BA=E$
• $|A|\neq{0}$,即A是非奇异的(由:Cramer’s Rule及其推论有):

• 齐次方程组$Ax=\bold0$只有唯一解(零解)
• $\forall{b}$,非齐次线性方程组$Ax=b$总有唯一解(非零解)

• $秩r(A)=n$
• A的行(列)向量线性无关
• 矩阵A的特征值不全为0

• 或者说:A的特征方程$|\lambda{E}-A|=0$的全部n个根:$\lambda_i,(i=1,2,\cdots,n)$,$\prod_{i=1}^{n}\limits\lambda_{i}\neq{0}$

• A可以表示成一些初等矩阵的乘积:$\prod\limits_{i=1}P_iA=E$

可逆矩阵的性质🎈

• 设$A$可逆
• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(\lambda{A})^{-1}={\lambda^{-1}}A^{-1}$

• 容易验证:$(\lambda{A})(\lambda^{-1}A^{-1})=E$,所以$\lambda{A}$可逆,且$(\lambda{A})^{-1}=\lambda^{-1}A^{-1}$

• $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

• 欲证上式,等价于证$A^T(A^T)^{-1}=A^T(A^{-1})^T=E$
• 由矩阵乘法的转置性质:$(AB)^T=B^TA^T$,即$A^TB^T=(BA)^T$
• 从而$A^{T}(A^{-1})^T=(A^{-1}A)T=E^T=E$所以$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^T$

• $A,B$可逆,则$AB$可逆,且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

• $\because{(AB)(B^{-1}A^{-1}})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E$
• $\therefore{(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$
• 更一般的:

• $(A_1A_2\cdots{A_m})^{-1}=A_m^{-1}A_{m-1}^{-1}\cdots{A_1^{-1}}$

伴随运算@伴随矩阵的公式🎈

1. $AA^*=A^*A=|A|E$(数量阵)

• $A^{-1}=|A|^{-1}A^*$
• $A^*=|A|A^{-1}$(A可逆(不是所有方阵的伴随矩阵都可以展开成右侧))

• 对$AA^*=|A|E$两边左乘$A^{-1}$得到.
• 主要用于推导其他关于伴随矩阵的结论)

2. $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A,(|A|\neq{0})$

• 对$AA^*=|A|E$两边同时取行列式:$|A||A^*|=|A|^n|E|=|A|^n,$

• 因为$|A|\neq{0},|A^*|\neq{0}$,即$A^*$可逆,$|A^*|=|A|^{n-1}$

• 由于$kE$是可逆矩阵,所以$AA^*=|A|E$两边都是可逆矩阵($k=|A|$)

• $AA^*=|A|E$的两边同时取逆,得到$(AA^*)^{-1}=(|A|E)^{-1}$,即$(A^{*})^{-1}A^{-1}=|A|^{-1}E^{-1}=|A|^{-1}E$
• 对$(A^*)^{-1}A^{-1}=|A|^{-1}E$两边同时右乘$A$,得:$(A^*)^{-1}=|A|^{-1}A$

• 由$A$可逆,可知B=$A^{-1}$是可逆的,且$A^{-1}=A$

• $BB^*=|B|E$,同时左乘$B^{-1}$,$B^*=|B|B^{-1}$即$(A^{-1})^*=|A^{-1}|(A^{-1})^{-1}$
• 而前面讨论过$|A^{-1}|=|A|^{-1}$,从而$(A^{-1})^*=|A|^{-1}A$

• 可见$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A,(|A|\neq{0})$

• 方法2:

• 对$A^*=|A|A^{-1}$两边取逆:$(A^*)^{-1}=|A|^{-1}A$

• 由于A可逆,记$B=A^{-1}$,B也可逆
• $B^*=|B|B^{-1}=|A^{-1}|A=|A|^{-1}A$,所以$(A^{-1})^*=|A|^{-1}A$

3. $(kA)^*=k^{n-1}A^*$

• 由于A可逆,kA也可逆
• 记B=kA,则B可逆,$BB^*=|B|E,B^*=|B|B^{-1},(kA)^*=|kA|(kA)^{-1}=k^n|A|k^{-1}A^{-1}$
• 所以$(kA)^*=k^{n-1}|A|A^{-1}=k^{n-1}A^*$

4. $(A^*)^T=(A^T)^*$

• $A^*=(|A|A^{-1}),(A^*)^T=(|A|A^{-1})^{T}=|A|(A^{-1})^T$
• $记B=A^T,B^*=|B|B^{-1},即(A^T)^*=|A^T|(A^T)^{-1}=|A|(A^T)^{-1}$
• 由于$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$,所以$(A^*)^T=(A^T)^*=|A|(A^T)^{-1}$

5. $|A^*|=|A|^{n-1}$

• 方法1:

• $A^*=|A|A^{-1}$
• $|A^*|=|A|^n||A^{-1}|=|A|^n|A|^{-1}=|A|^{n-1}$

• 方法2:对$AA^*=|A|E$两边取行列式,$|A||A^*|=|A|^n|E|=|A|^n$

• $|A^*|=|A|^{n-1}$

6. $(A^*)^*=|A|^{n-2}A(n\geqslant{2})$

• 综合运用上面得到的结论可以推到出来
• $记B=A^*;B^*=|B|B^{-1};(A^*)^*=|A^*|(A^*)^{-1}=|A|^{n-1}(|A|^{-1}A)=|A|^{n-2}A$