空间直角坐标系@空间向量坐标分解式

文章目录

• abstract
• 空间直角坐标系

• 坐标面
• 坐标和点

• 向量的坐标分解式

abstract

• 空间直角坐标系@空间向量坐标分解式

空间直角坐标系

• 在空间取定1点O和3个两两垂直的单位向量$\boldsymbol{i,j,k}$,就确定了3条都以O为原点的两两垂直的数轴;

• 三个数轴依次记为$x,y,z$轴,分别称为横轴,纵轴,竖轴,统称为坐标轴(经常用$u$轴表示其中的某一个轴)

• 上述元素构成一个空间直角坐标系,称为$Oxyz$坐标系或者$[O;\boldsymbol{i,j,k}]$坐标系
• 通常将${x,y}$轴配置在水平面上,$z$轴作为铅垂线
• 它们的正向符合右手规则的是右手系,当右手的四个手指从正向$x$轴以$\frac{\pi}{2}$角度转向正向$y$轴时,大拇指的指向就是$z$轴
• 其中$D$是$M$在$xOy$上的投影点
• A,B分别是$M$在$x,y$轴上的投影点
• 由立体几何的知识(过平面外的一点作垂直于平面的直线,则该直线垂直于平面上的任意直线),此处$x$轴垂直于平面$\Pi_{ADM}$所确定的平面,且$AM\in{\Pi_{AMD}}$,所以$AM\perp{OA}$

坐标面

• 三条坐标轴的任意两条可以构成一个面,这样给出的面称为坐标面,例如,$x,y$轴确定的平面可以记为$xOy$面

• 类似的有$xOz,yOz$坐标面

• 三个坐标面将空间分为8个部分,每个部分称为一个卦限

• 分为2层,每层4个卦限,第一个卦限有三个坐标轴的正方向指出
• 从第一卦限开始逆时针编号第一层的四个卦限
• 第5卦限位于第一卦限正下方,从第5卦限开始逆时针编号5~8卦限

坐标和点

• 过空间任意点$P$作3个平面,分别垂直于$x,y,z$轴,

• 设3个垂足对应的实数分别时$a,b,c$
• 于是点$P$对应于一个三元实数组

• 反之,任给一个三元组$(a,b,c)$,可过$x,y,z$轴上的$a,b,c$分别作三张平面,它们分别垂直于$x,y,z$轴,这三张平面交于空间中的一点$P$
• 因此三元实数组和空间的点一一对应,$(a,b,c)$被称为点$P$的坐标,点$P$的坐标是$(a,b,c)$

向量的坐标分解式

• 任意向量$\boldsymbol{r}$,有对应点$M$,使得$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r}$
• 以$OM$为对角线,三条坐标轴为棱,构建长方体,比如按8个顶点编号为$RHMK-OPNQ$,前4个字母表示长方体的第一层的4个顶点,后4个字母表示长方体的第二层的4个顶点
• 长方体的面可以有过点M的垂直于坐标面的平面以及3个坐标面相互截取围成的区域
• 设$R,P,Q$分别位于$x,y,z$轴上,设$\overrightarrow{OP}=x\boldsymbol{i}$,$\overrightarrow{OQ}=y\boldsymbol{j}$,$\overrightarrow{OR}=z\boldsymbol{k}$,则$\boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM}$=$x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$(1)该式称为向量$\boldsymbol{r}$的坐标分解式

• $x\boldsymbol{i},y\boldsymbol{j},z\boldsymbol{k}$称为向量$\boldsymbol{r}$的沿着3个坐标轴方向的分向量
• 因此在坐标系$Oxyz$中,点坐标和向量有一 一对应的关系:$\boldsymbol{r}=(x,y,z)$

• 又比如:设向量$\bold{a}=(a_x,a_{y},z_{y})$对应的向量分别为

• $\boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}$
• $\boldsymbol{b}=b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k}$
• $\lambda\boldsymbol{a}=\lambda a_x\boldsymbol{i}+\lambda a_y\boldsymbol{j}+\lambda a_z\boldsymbol{k}$