本次要总结和分享的论文是 LINE: Large-scale Information Network Embedding,其链接 论文[1],所参考的实现代码 code[2],这篇论文某些细节读起来有点晦涩难懂,不易理解,下面好好分析下。
论文动机和创新点
- information network 在现实世界中无处不在,例如最常见的社交网络图。而这种网络通常包含 百万以上的节点和数以十亿记的边,如果能将这种高维复杂的网络映射(降维) 到低维空间内,用于可视化、节点分类、预测、推荐等相关任务,则能产生巨大的商业和学术价值,而本论文就旨探讨如何将高维的信息网络 映射(降维)到低维空间内。
- 现实中的信息网络十分复杂,通常包含 百万以上的节点和数以十亿记的边,对于如此复杂庞大的图结构,目前大多数的图嵌入方法都不可行。
- 由此本文提出一种高效的网络表征学习方法,对于有向/无向、有权重/无权重的图都可适用,且可在单机器上、数小时之内完成对 包含百万以上的节点和数以十亿记的边的图网络的 embedding 学习。
- 本论文所提方法 能保存局部和全局的网络结构信息,并且提出了高效的优化技巧,使得能对包含百万节点的图进行学习。局部网络结构信息:节点间的一阶近似性(first-order proximity) 全局网络结构信息:节点间的二阶近似性(second-order proximity) 优化技巧:edge-sample,negative-sample
- 与 DeepWalk 类似深度优先搜索相比,Line 更像一种广度优先搜索,对于取得二阶相似性,广度更加合理。并且 Line 适用于带权图,而 DeepWalk 不适用。
LINE 主要内容
图结构的定义
上述公式中
表示 节点集合,
表示边集合,对每天边上的权重
表示节点
和
的关系强弱,若是无向图则
,反正则不相等。注意本论文只探讨边权重
的情况。如上所描述的图 G 基本上可以囊括现实世界中的信息网络。
一阶相似性(first-order proximity)
对于图中任意两个节点
,
都可以由边进行连接,如果在图中两节点有边则
,否则等于 0,这种定义也是符合现实逻辑的,在 information network 中,如果两个用户存在连接关系,则该两个用户的性格、兴趣等可能存在相似性、如果两个网页存在连向彼此的链接,则该网页内容可能存在相似性等等。在这里可以假设有一条无向边
,其两节点
由此我们可以得到在
空间上的概率分布
其中
,由此可以的带
上的经验概率分布
论文提到要让
这两种分布 KL 散度距离越近越好,去掉一些常数,由此可得到 一阶相似的损失函数:
论文里提到这种一阶相似性只能应用在无向图中,不适用有向图,这里也可理解,按照一阶相似度计算,不可能存在
与
相似 不等于
与
那么问题来了,为何按照公式(3) 的优化方向,得出来的节点
的表示向量
真的与节点
的表示向量
就真的如 如期的那样相似或者不相似呢?这点论文中并没有解释,可能是个常识性知识,但是仍值得探讨下, 假设
很大,这说明实际中,节点
与
很相似,那么按这公式(3) 优化,
也应该很大,则
也应该很大,则按照余弦相似度计算,则向量
与
的夹角很小,则该
与
这里还有一个问题:由公式(1)计算出的
里面每个概率值都是有 sigmoid 计算出来的,整体并不是一个标准概率分布,因为
,严格上来说
并不是一种分布。而
二阶相似性(second-order proximity)
但是如果仅仅根据两节点是否存在直接相连的边来判断相似性,显然是不够的,例如两个用户虽然没有直接相连,但是他们却存在大量共同好友,由常识也知道认为这两用户是相似的,但是他们的一阶相似性却为 0。由此定义二阶相似性:两节点各自相邻节点的一阶相似性。可解决一阶相似性的稀疏问题。
因为二阶相似性要在有向图上适用,故对每个节点,有两个角色要扮演:① 自身角色 ② 相对别的节点,节点作为上下文角色。例如对于有向边
,在给定节点
的情形下,
节点需要承担
上下文角色。每个节点都有两个角色,每个角色都有两个表示向量。例如节点
的表示向量
和上下文表示向量
。由此可得在给定
情形下,
上式中
。那么对于每个节点,都可以得到一个概率分布
。同样论文中也提出了二阶的经验分布:
其中
,
表示节点
的出度,由此得到二阶经验分布
到这来,可能有人要问,这种二阶相似性计算,如何体现 “两个节点拥有相似的相邻节点,则该两个节点肯定有相似性”,论文中对此也没有任何解释,可能是个比较常识性的问题,但是我认为仍值得深入解释一下,这里提出我个人的想法:试想一下,在公式(4)中
与
相邻,并且
不断对与他相邻的节点
可能又有人问,为啥二阶弄个上下文向量
,试想一下,在公式(4)中,如果
为
,那么
与
优化技巧
边采样
论文里提到对于一个庞大复杂的带权有向图,其边权重的方差可能是很大的,难以训练优化,论文中提出可将每个带权边拆解成多个权重为
。但是这样做,图将变得非常复杂,对机器的 memory 要求将会剧增。为了缓解这个问题,可以对边进行带概率(相同两节点边出现频次/ 总边数)的采样(即采样出的样本服从原始样本分布)。论文中提出使用 alias method 方法进行采样。该方法查找时间复杂度 O(1),但是建表时间复杂度 O(n),但是只需建一次即可。详情可看 alia-method[3]。这样就完成了对边的采样。
节点负采样
与 NLP 中的 word2vec 所遇到的问题类似,对于公式(4) 来说,分母需要遍历节点图中的所有节点,这样计算量可能非常巨大,因此需要采样部分负节点,来组成负样本,那么公式(4)可转化成如下:
对于上面公式中的求和下标
,个人感觉改成
应该较好理解些。上式相当于把节点
与
作为一对正样本(label=1),而节点
与每个采样得到的节点组成的
作为负样本(label=-1),故里面有个负号。有正有负,有变大有变小才能优化。
在实写代码时,只需要将每对 pairwise 做内积乘以 label 再做 log_sigmoid,再对所有 pairwise 求和取负,再 minimize 即可。
同理在公式(3) 里面,也需要对没有边相连的节点进行采样,作为负样本,这样 有正有负,有变大有变小才能优化。
所以对一阶相似与二阶相似做完负采样后,两者损失函数一致了,不同的是对于一阶相似,需将公式(7) 中的
成
,实写代码时也是。
关键代码
class LINEModel:
def __init__(self, args):
self.u_i = tf.placeholder(name='u_i', dtype=tf.int32, shape=[args.batch_size * (args.K + 1)])
self.u_j = tf.placeholder(name='u_j', dtype=tf.int32, shape=[args.batch_size * (args.K + 1)])
self.label = tf.placeholder(name='label', dtype=tf.float32, shape=[args.batch_size * (args.K + 1)])
self.embedding = tf.get_variable('target_embedding', [args.num_of_nodes, args.embedding_dim],
initializer=tf.random_uniform_initializer(minval=-1., maxval=1.))
self.u_i_embedding = tf.matmul(tf.one_hot(self.u_i, depth=args.num_of_nodes), self.embedding)
if args.proximity == 'first-order':
self.u_j_embedding = tf.matmul(tf.one_hot(self.u_j, depth=args.num_of_nodes), self.embedding)
elif args.proximity == 'second-order':
self.context_embedding = tf.get_variable('context_embedding', [args.num_of_nodes, args.embedding_dim],
initializer=tf.random_uniform_initializer(minval=-1., maxval=1.))
self.u_j_embedding = tf.matmul(tf.one_hot(self.u_j, depth=args.num_of_nodes), self.context_embedding)
self.inner_product = tf.reduce_sum(self.u_i_embedding * self.u_j_embedding, axis=1)
self.loss = -tf.reduce_mean(tf.log_sigmoid(self.label * self.inner_product))
self.learning_rate = tf.placeholder(name='learning_rate', dtype=tf.float32)
# self.optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate=self.learning_rate)
self.optimizer = tf.train.RMSPropOptimizer(learning_rate=self.learning_rate)
self.train_op = self.optimizer.minimize(self.loss)
由上面代码可以看出 当选择一阶相似性时:节点
是从
矩阵里取表示向量,模型也只更新
矩阵;当选择二阶相似性时:节点
是从
矩阵里取表示向量,模型会更新
class DBLPDataLoader:
def __init__(self, graph_file):
self.g = nx.read_gpickle(graph_file)
self.num_of_nodes = self.g.number_of_nodes()
self.num_of_edges = self.g.number_of_edges()
self.edges_raw = self.g.edges(data=True)
self.nodes_raw = self.g.nodes(data=True)
self.edge_distribution = np.array([attr['weight'] for _, _, attr in self.edges_raw], dtype=np.float32)
self.edge_distribution /= np.sum(self.edge_distribution)
self.edge_sampling = AliasSampling(prob=self.edge_distribution)
self.node_negative_distribution = np.power(
np.array([self.g.degree(node, weight='weight') for node, _ in self.nodes_raw], dtype=np.float32), 0.75)
self.node_negative_distribution /= np.sum(self.node_negative_distribution)
self.node_sampling = AliasSampling(prob=self.node_negative_distribution)
self.node_index = {}
self.node_index_reversed = {}
for index, (node, _) in enumerate(self.nodes_raw):
self.node_index[node] = index
self.node_index_reversed[index] = node
self.edges = [(self.node_index[u], self.node_index[v]) for u, v, _ in self.edges_raw]
def fetch_batch(self, batch_size=16, K=10, edge_sampling='atlas', node_sampling='atlas'):
if edge_sampling == 'numpy':
edge_batch_index = np.random.choice(self.num_of_edges, size=batch_size, p=self.edge_distribution)
elif edge_sampling == 'atlas':
edge_batch_index = self.edge_sampling.sampling(batch_size)
elif edge_sampling == 'uniform':
edge_batch_index = np.random.randint(0, self.num_of_edges, size=batch_size)
u_i = []
u_j = []
label = []
for edge_index in edge_batch_index:
edge = self.edges[edge_index]
if self.g.__class__ == nx.Graph:
if np.random.rand() > 0.5: # important: second-order proximity is for directed edge
edge = (edge[1], edge[0])
u_i.append(edge[0])
u_j.append(edge[1])
label.append(1)
for i in range(K):
while True:
if node_sampling == 'numpy':
negative_node = np.random.choice(self.num_of_nodes, p=self.node_negative_distribution)
elif node_sampling == 'atlas':
negative_node = self.node_sampling.sampling()
elif node_sampling == 'uniform':
negative_node = np.random.randint(0, self.num_of_nodes)
if not self.g.has_edge(self.node_index_reversed[negative_node], self.node_index_reversed[edge[0]]):
break
u_i.append(edge[0])
u_j.append(negative_node)
label.append(-1)
return u_i, u_j, label
def embedding_mapping(self, embedding):
return {node: embedding[self.node_index[node]] for node, _ in self.nodes_raw}
上述代码中的图已假定边权重均为 1,相当于已经对带权重的边进行了拆解了多条二元边;首先进行 边采样,然后再对节点进行了负采样,负采样得到
的
个人总结
- 本论文刚刚读起来,有点晦涩难懂,总觉得有些地方不严谨。但是仔细推敲下,貌似没啥大问题
- 论文读起来感觉很复杂的样子,但是代码真的挺简单的。
参考资料
[1]
论文: http://www.www2015.it/documents/proceedings/proceedings/p1067.pdf
[2]
code: https://github.com/snowkylin/line
[3]
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