【第30天】给定一个整数 n ，求它的因数之和

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学习指引

序、专栏前言

   本专栏开启，目的在于帮助大家更好的掌握学习​​Java​​​，特别是一些​​Java学习者​​​难以在网上找到系统地算法学习资料帮助自身入门算法
   但最最主要的还是需要独立思考，对于本专栏的所有内容，能够进行完全掌握，自己完完全全将代码写过一遍，对于算法入门肯定是没有问题的。
   算法的学习肯定不能缺少总结，这里我推荐大家可以到​高校算法社区​将学过的知识进行打卡，以此来进行巩固以及复习。
  学好算法的唯一途径那一定是题海战略，大量练习的堆积才能练就一身本领。专栏的任何题目我将会从【题目描述】【解题思路】【模板代码】【代码解析】等四板块进行讲解。

一、【例题1】

1、题目描述

$n(1\leq n\leq1e9)$，求它的约数之和，答案对$1e9+7$取模

2、解题思路

$(1)$可以根据求因数个数的代码来求，有$O(n)$和$O(\sqrt n)$复杂的做法。
$(2)$也可以约数之和定理求解，重点讲解该定理

3、模板代码

1）朴素O(n)做法

import java.util.*;

public class Main {
    static int mod=1000000007;
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        long ans=0;
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            if (n%i==0) ans=(ans+i)%mod;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

2）优化根号n做法

import java.util.*;

public class test {
    static int mod=1000000007;
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        long ans=0;
        for (int i = 1; i <=n/i; i++) {
            if (n%i==0){
                if (i!=n/i){
                    ans=(ans+i)%mod;
                    ans=(ans+n/i)%mod;
                }else{
                    ans=(ans+i)%mod;
                }
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

3)约数之和定理

import java.util.*;

public class test {
    static int mod=1000000007;
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        long sum=1;
        for (int i = 2; i <=n/i; i++) {
            if (n%i==0){
                int c=0;
                while (n%i==0){
                    c++;
                    n/=i;
                }
                long t=1;
                while (c-->0) t=(t*i+1)%mod;
                sum=(sum*t)%mod;
            }
        }
        if (n>1) sum=(sum*(n+1)%mod);
        System.out.println(sum);
    }
}

4、代码解析

• $(1)$前面讲过，对于一个正整数$n$，由算式基本定理可得：
  $n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{^i}=p_1^{a^1}\times p_2^{a^2}\times p_3^{a^3}......p_k^{a^k}(p_1,p_2....p_k均为质数)$
  那么记$n$的约束之和为$f(n)$,则有：
  $f(n)=(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{a_1})*(p_2^0+p_2^1+...+p_2^{a_2})*...(p_k^0+p_k^1+...+p_k^{a_k})$
• $(2)$证明:
  首先计算$p_1^{a_1}$的约数之和，可知为$(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{a_1})$
  其次再算$p_2^{a_2}$的约数之和，可知为$(p_2^0+p_2^1+...+p_2^{a_2})$
  …
  最后算出$p_k^{a^k}$的约数之和，可知为$(p_k^0+p_k^1+...+p_k^{a_k})$
  根据乘法原理可得，$n$的约数之和$f(n)为：$
  $f(n)=(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{a_1})*(p_2^0+p_2^1+...+p_2^{a_2})*...(p_k^0+p_k^1+...+p_k^{a_k})$

二、【例题2】

1、题目描述

$n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 $10^9+7$

2、解题思路

$(1)$在上一题上，由一个数的因数之和拓展为多个数，但本质上乘积的最后仍然为一个数。
$(2)$我们可以将这$n$个数的都进行质因数的分解，统计每个质因数出现的总次数，最后使用约数之和定理即可。

3、模板代码

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static final int mod = 1000000007;
    static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    static long ans = 1;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        while (n-- > 0) {
            int a = sc.nextInt();
            getNums(a);
        }
        for (Integer a : map.keySet()) {
           long sum=1;
           int k=map.get(a);
           while(k-->0) sum=(sum*a+1)%mod;
           ans=(ans*sum)%mod;
        }
        System.out.print(ans);
    }
    //求质因数公式
    static void getNums(int n) {
        for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
            while (n % i == 0) {
                map.put(i, map.getOrDefault(i, 0) + 1);
                n /= i;
            }
        }
        if (n > 1) map.put(n, map.getOrDefault(n, 0) + 1);
    }
}

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四、课后习题

序号	题目链接	难度评级
1	​​ 约数求和​​	2