前几天ACM培训的时候做到关于拼图的题目，于是结合网上的说法，以及玩拼图的经验，开始了一系列研究。
SGU139：Help Needed（拼图）
一，链接
二，游戏规则
给你一个n（n>1）行m（m>1）列的矩阵，刚好由0,1,2。。。。。。n*m-1这n*m个数组成。
通过一系列的操作，使得矩阵变成如下状态（以下简称复原状态）：
按照从上到下（一级排序），从左到右（二级排序）来排序，矩阵可以排成数列1,2,3,4。。。。。。n*m-2,n*m-1,0
操作只有1种，0和0的若干邻居（上下左右，最多4个邻居）中的某一个交换位置。
拼图游戏里面，0对应的格子是空的。
三，术语
逆序：
对于n个不同的元素，先规定个元素之间有一个“标准次序”（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就有1个“逆序”。点击打开百科词条
逆序数：
一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的“逆序数”。点击打开百科词条
曼哈顿距离：
固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。点击打开百科词条
总状态数：
逆序数是数列的一种状态数，曼哈顿距离是线段的一种状态数。
同样的，对于如上所说的n*m的矩阵，也可以定义总状态数。
总状态数=逆序数+0所在的格子到右下角的格子的曼哈顿距离（以下简称曼哈顿距离）。
四，总状态数奇偶不变定理
对于一个序列，每交换任意2个数，逆序数的奇偶性都会改变1次。
对于拼图游戏，每交换一次，曼哈顿距离的值都加1或者减1，所以奇偶性也会改变1次。
所以说，对于拼图游戏，总状态数的奇偶性是永远不变的。
五，判定——必要性
任何1个n*m的矩阵，是否都能移成复原状态呢？不一定。
首先，复原状态的总状态数的奇偶性可以算出来，曼哈顿距离为0，逆序数为n*m-1
所以总状态数的奇偶性就是n*m-1的奇偶性。
那么，对于任意给定的矩阵，很明显有的状态的奇偶性符合，有的却不符合。
根据总状态数奇偶不变定理，奇偶性不对的肯定无法复原，比如
这个状态的逆序数为15，曼哈顿距离为0，所以这个状态为奇，
而总状态数的奇偶性是3*5-1=14为偶，所以这个状态肯定无法复原。
有的状态是可以复原的，比如
这个状态的逆序数为14，曼哈顿距离为4，和为偶，经验证，这个状态是可以复原的。
说起来，这2个图就是上面的链接里面的4399游戏截图的，因为初始化比较慢，
而且还没初始化完就可以开始点了，于是我侥幸能得到这2张图。
那么，是不是只要状态的奇偶性对了，就一定可以复原呢？
这个值得思考，请继续看！
六，极小化
对于2*2的拼图，只有4！=24种状态。n=2,m=2,n*m-1=3
可以验证，有12种奇状态，全部可以复原，有12种偶状态，全部无法复原。
七，策略（化为子问题）
对于假设可以复原的状态，要怎么样复原呢？
第一，若 n>2，那么一定可以复原第一行，接下来只需要解决（n-1）*m 的子问题。
请注意，既然是子问题，那么第一行当然是永不再变，下同。
还请注意，因为加了这个限制，原问题有解不代表子问题同样有解。
第二，若m>2，那么一定可以复原第一列，接下来只需要解决 n*（m-1）的子问题。
第三，通过反复运用上述2条结论，最终一定可以只剩下右下角的4个格子，即2*2的子问题。
八，判定——充分性
如果一个状态的奇偶性和n*m-1的奇偶性相同，那么通过上述策略（七）化成2*2的子问题之后，
得到的状态的奇偶性和n*m-1的奇偶性仍然相同（四）。
根据（六），一定可以复原。
综上所述，当且仅当一个状态的奇偶性和n*m-1的奇偶性相同时，可以复原。
至此，关于拼图的研究就告一段落了，谢谢观看！
