继续普林斯顿微积分读本06第五章--连续性往下学习，上一次已经对于函数的连续性进行了详细的学习，而对于函数图像还差另一个特性，在上次开篇也说过：
所以现在就来看看函数能够具有的另一种光滑性----可导性。
可导性：
其中“导”字一出来，对于学过高数的小伙伴第一时间就会想到“导数”，是的，这实质上意味着函数是有导数的。所以之后会花不少的篇幅在求导上面，比如：
所以说这个性质是非常的重要。引用书本的一句话：“发展微积分的最初灵感之一来自试图去理解运动物体的速度、距离和时间的关系”，所以说接下来先从“理解运动物体的速度、距离和时间的关系”出发开始研究。其中关于微积分是啥可能都忘得差不多了，百科先提前回顾一下，之后它是重要的研究课题：
平均速率：
说实话，书本上的我看了几遍，还是一知半解，下面还是试着理解一下，因为它是基础，理解不透会影响后面的学习，如果理解有问题可以评论区帮忙指点~~书本问了一个问题“在高速公路上给一辆汽车拍照，曝光时间非常短，所以这么短的时间你都无法分辨那辆车是不是在动【注意这个加粗的条件】，那此时问你拍照时汽车的运行速度有多快？”，此时你可能第一时间想到了速率公式了：
但是！！！照片无法告诉你距离（因为上面加粗的条件是曝光时间非常短，你感受不到那辆车有动）和时间（因为是一瞬间，非常快） ，所以，此时你是无法回答出这个问题对吧。
但是！！！如果告诉我们，拍照之后的一分钟汽车行驶了一英里呢？此时就可以根据上面的速度公式算出来速度是60英里/小时【因为一小时是60分钟】，但是你无法保证汽车在那一分钟里的速度是一样的，因为期间汽车会多次加速和减速的，所以，这个速率前面应该得加一个修饰词“平均”，也就是平均速率。
那如果再告诉你一个条件：“在第一个10秒钟，汽车行驶了0.25英里”，10秒钟明显比1分钟要快很多，这时候在第一个10秒钟的平均速度是不是就可以算出来1.5英里/分钟或者90英里/小时对吧，同样这也只能是平均速率，哪怕是在0.0001秒期间汽车也足以可以改变速率的，有点取极限的意思对吧，权限情况下，其速率就跟真实的速率是无限接近的。
说白了其实还是说极限的情况，而非一个精确的值，跟我们之前所学的极限是息息相关的。
对于平均速率很容易理解成平均速度，但是这俩是完全不同的概念哟，下面就来看一下速度的概念。
位移和速度：
比如汽车在一条长直的高速路上行驶，不过这条公路上的里程标志牌有点奇怪：
其中有个0标志，它的左侧是负数，而右侧是正数。
位移：
假设汽车始于2英里处并直接驶向5英里处，很明显汽车行驶的距离是3英里；而如果它始于2英里但向左行驶到了-1英里处，距离也是3英里，很明显这两种情况下的距离都是一样长的，要想区别它们的不同，很明显用距离是满足不了的，于是乎需要使用位移来代替距离，位移的公式是：
位移 = 终点位置 - 初始位置
还是刚才的两个场景，看一下它们的位移有啥不一样：
汽车从位置2驶到位置5，位移是5 - 2 = 3英里。但如果是从位置2驶到位置-1,位移是(-1) - 2 = -3英里，所以位移跟距离的区别是：位移可以为负的，如果位移是负的，汽车将终止于它初台位置的左侧。
其实距离跟位移还有另一个重要区别，位移仅仅涉及终点和初始位置，汽车在行驶过程中的情况是无关紧要的，举例说明一下：
如果汽车从2走到11，然后又返回到5，距离是9(11- 2) + 6(11 - 5) = 15，但是总位移还是只有3英里（5 - 3）；
如果汽车从2走到-4，然后又返回到2，位移实际上是0英里(2 - 2)，而距离是((2-(-4)) + (2 - (-4)))，
而如果汽车只向一个方向行驶，没有后退的话，距离就是位移的绝对值。
速度：
还记得上面速率的公式么？回忆一下：
而如果用位移来代替距离，此时就会得到平均速度，也就是：
速度可以是负的，而速率必定是非负的【因为距离是位移的绝对值，是>=0的】。
如果在一定的时间段内，汽车有一个负的平均速度，那么它终止于初始位置的左侧；而如果在一定的时间段内平均速度是0，那么汽车终止于它的初始位置，注意：这种情况下汽车或许有一个很高的平均速率，尽管它的平均速度为0。
一般而言，如果汽车沿着一个方向行驶，那么平均速率就是平均速度的绝对值。 记住：速率一定是非负的，而速度是可以为负的。
瞬时速度：
概述：
接下来再来探讨在上面这块的问题：
其实也就是研究一下“在给定的瞬间，如何测量汽车的速度” 这个问题，基本思想就是：在始于拍照时刻并变得越来越小【有多少呢，其实这里就会用到极限的知识了】的时间段上，求汽车的平均速度，这块的概述感觉比较抽象，需要慢慢一点点来理解，下面用符号来表达一下此思想。
令t是我们关心的时刻，假如全程始于下午两点，其中0表示开始时间，如果拍照时间是下午两点零三分，那么此时的t=180秒。而接下来假设u是t之后最近的时刻【也就是汽车从t时刻行驶到了u时刻】，此时就可以用它：
其中注意它不是字母u哟：
它表示汽车在始于时间t终止于时间u的时间段上的平均速度！
咱们现在让u无限靠近t，此时又是轮到极限全场的地方了，也就是可以用如下式子来表达：
也就是表示u时刻是无限靠近t时刻，但是u>t的，而其实u也可以在t之前，所以此时就可以用双侧极限来替换右极限了：
理解这个式子的关键是：
它表示“汽车在始于时间t终止于时间u的时间段上的平均速度”。
公式：
接下来从另一个形式来看一下上述的这个公式的变体：假设你知道在高速路上汽车在任意时刻的准确位置，比如在时刻t，汽车的位置是f(t)，所以我们可以令：
f(t) = 汽车在时刻t的位置。
此时咱们就可以准确地计算平均速度：
了，如下：
其中分母表示所涉及时间段的长度，好，此时咱们就可以求时刻t的瞬时速度了，也就是来求极限：
将
代入，于是就有：
而很明显如果直接用u=t来作替换求极限的话，会得到0/0的不定式，肯定不行，所以需要做一下变化，可以令h = u - t ，由于u非常接近t，当u -> t时，h -> 0，所以上述式子可以进行相应的替换，h = u - t可以变换为u = t + h，于是就有：
实践：
好，下面举一个实际求解瞬时速度的例子：
假设处于静止状态的汽车从7英里标志处向右开始加速，并设此时刻t = 0小时，而汽车在时刻t的位置好像是：
暂且不用管为啥是这么一个式子，接下来让我们设：
，看能否可以求出汽车在任意时刻t的速度？
所以此时就可以使用上述的这个瞬时速度公式了：
如下：
而：
所以式了可以进一步化简为：
此时已经将分母成功消除，就非常好了，接下来求极限就直接将h = 0代入既可求出极限值：
根据这个结果就可以推断出汽车的速度情况是：
1、在时刻0，汽车的速度是30 x 0 = 0英里/小时，汽车是处于静止状态的。
2、半小时后，在时刻t = 1/2（30分钟/60分钟），它的速度是30 x 1/2 = 15英里/ 小时；
3、一小时后，速度是30英里/小时。
也就是在时刻t的速度是30t，它告诉我们，汽车行驶得越来越快，每小时速度增加30英里/小时，也就是说，汽车以30英里每二次方小时加速。其中“英里每二次方小时”是加速度的描述，关于这块貌似有点不太好理解，百科一下：
速度的图像阐释：
接下来则用图像来阐释一下速度，如图：
也就是假设f(t)代表汽车在时刻t的位置，如果想要在特定时刻t的瞬时速度，需要选取一个靠近t的时刻u，然后过(f, f(t))和(u, f(u))两点的直线的斜率为：
它刚好是上节中我们所阐述的平均速度的公式：
所以就有了在t到u时间段上平均速度的图像阐释：在位置和时间的图像上，它就是连接点(t, f(t))和(u, f(u))的直线的斜率。
下面咱们试着给瞬时速度找一个类似的阐释，也就是需要取u趋于t时的极限，其变化过程大概是如下三个图的样子：
是不是可以看到这些直线好像是越来越接近点(t, f(t))处的切线，而由于瞬时速度就是这些直线在u -> t时的极限，于是瞬时速度就等于通过点(t, f(t))的切线的斜率，所以接下来就需要对切线有一个了解了。
切线：
切线这块比较好理解，简单过一下，比如如下图：
很明显虚线是刚好过曲线上的(x, f(x))，它就是切线，切线与曲线有两个交点，这个也不影响它是切线的事实，再看另一个图：
很明显这里你找不到该函数的切线，因为角是直的，不管你怎么画，都不能在那里同时顾及两边的图像。
那如果通过(x, f(x))的切线存在，你该如何找到它呢？为了描述一条直线，只需要提供两个信息：
1、直线上的一点；
2、该直线的斜率；
此时就可以使用点斜式来求直线方程了【直线点斜式方程公式:y-y₀=k(x-x₀)其中(x₀,y₀)为坐标系上过直线的一点的坐标,k为该直线的斜率】。
而目前我们已知直线要通过点(x, f(x))了，所以我们只需要求出斜率切线就可以找到了，为了求解斜率，还是需要使用上节中求瞬时速度的那个例子：
我们由选取一个靠近于x的数z开始，很明显这条虚线的斜率是：
而当点z越来越接近x时，此时通过(x, f(x))的切线斜率就为：
此时很明显这个极限不能直接当z=x代入，因为分母为0了，此时还是用之前所学的套路进行变化，设h = z - x，当z -> x时，有h -> 0，所以式子就可以变为：
另外要注意：只有当极限确实存在的时候才有上面的式子！！！
导函数：
概述：
接下来就要开始接触导数的概念了，说实话这块不是很好理解，但又必须得理解，不然之后的学习就跟听天书一样。
首先从下面这张图开始：
这些虚的直线都有不同的斜率对吧，也就是切线的斜率取决于你选取的点x的值，换言之，通过(x, f(x))的切线的斜率是x的一个函数，此函数被称为f的导数，记作：
它表示f关于变量x求导得到函数f'
根据上一节结尾的公式，如果极限存在的话，有：
在这种情况下，f在x点可导。如果对于某个特定的x，极限不存在，那么x的值就没有在导函数f'的定义域里，既f在x点不可导，有很多原因会导致极限不存在，比如说y = |x|：
因为是个尖角，找不到一个切线；再比如说x没有在f的定义域中，很明显就不可能画出点(x, f(x))，更不用说是画切线了。
接下来再来回忆一下瞬时速度的定义：
其中f(t)是汽车在时刻t的位置，而等号右边的表达式正好如上述的这个式了是一样的：
只是用x代替了t，也就是说：如果：
是在时刻t的瞬时速度，那么：
其速度正好是位置关于时间的导数，有木有发现，导数其实还是求极限，所以说，学好极限是基础。
实践：
下面来看一个求导的例子，如果：
那么f'(x)对它求导是什么呢？那如何计算呢？套公式呗：
如下：
所以：
的导数是由：
给出，这就意味着y = x^2在点(x, x^2)的切线的斜率就是2x，下面用图来表示一下：
在x = -1处的切线的斜率看起来的确是-2，刚好与公式：
是一致的，为啥呢？这里就涉及到切线方程的斜率的求解了，网上搜了一下：
对于图中这个(-1, 1)的点，由于它的导数方程是：
所以此切线的斜率就是把横坐标点-1代入导数方程，于是就等于2 * (-1) = -2，所以对于导数它的意义貌似利用它，可以很方便的得知在函数图上的点对应切线的斜率。
所以其它两个切线的斜率都是相应的x坐标的两倍。
作为极限比的导数：
这块的东西也是比较抽象，需要慢慢一点点来理解。
Δx表示法：x中的变化
在上面介绍的导函数公式中：
必须要求出量f(x + h)的值，那这个量是什么呢？如果y = f(x)，将x变成x + h ，f(x + h)其实只是一个新的y值，量h代表对x作了多少改变，而对于这种改变，可以用Δx来表示，其中的Δ表示“在...中的变化”，因此Δx就表示在x中的变化【注意：Δx不要把它看成是Δ和x的乘积哟】，所以接下来可以用Δx来替换上述导函数式子中的h，就有：
Δy/Δx形式：
概述：
好，接下来要对分子进行一波转换了：
其实也就是把它可以转换成Δy形式，下面具体来看一下如何转换：
1、由（x, y）开始，其中y = f(x)；
2、选择一个新的x值，我们将它称之为x新，y的值相应的也变成了y新，也就是f(x新)。
3、任意量的改变量正好是新值减去旧值，所以会有如下两个方程，这方程是转换的关键：
Δx = x新 - x
Δy = y新 - y
第一个方程变形一下就有：x新 = x + Δx
第二个方程变形就有：Δy = y新 - y = f(x新) - f(x) = f(x + Δx) - f(x)
4、是不是“Δy = f(x + Δx) - f(x)”刚好就是导函数的分子？所以式子又可以表示为：
理解：
对于这个公式，其实是表示x中的一个小的变化产生了大约f'(x)倍的y中的变化，如何来理解呢？这里还是用上面举过的这个函数为例：
它的导函数为：
f'(x) = 2x，接下来看一下当x = 6时的情况，f'(x) = 12，如果取等式y = f(x) = 6^2 = 36，此时如果将6作一点点改变，其y = f(x)的结果则会基于原来y中的结果36再加上f'(x) = 12倍于此的量，还是有点懵对吧，下面将6作如下一点点的改变：
1、将x = 6产生一个小变化，也就是将0.01加到6上面，其y的变化就会产生f'(x)倍【12倍】的y中的变化，也就是将【12 x 0.01】加到原来y = 36的上面，也就是(6.01)^2大概是(36 + 0.12 = 36.12)，但是其实结果应该是36.1201，是不是36.12跟实示的结果差不多接近？
为啥通过“x中的一个小的变化产生了大约f'(x)倍的y中的变化”规则来计算的结果跟实际结果有一些偏差呢？原因是f'(x)并不是真正地等于Δy和Δx的比值，它只是表示当Δx趋于0时该比值的极限，这其实意味着离6越近，其结果就越靠近真实的值，下面再来将这个小变化值缩小。
2、将x = 6产生一个小变化，也就是将0.0004加到6上面，y的值应该是有12倍于此的改变，也就是0.0004 x 12 = 0.0048，所以可以猜测(6.0004)^2 = 36 + 0.0048 = 36.0048，而真实答案应该是36.00480016，是不是当离6足够近的时候，其结果也越接近真实情况？
3、接下来改变一下x值，如x = 13，f'(x) = 26，y = f(x) = 13^2 = 169，如果让x=13产生一个小变化，也就是将0.0002加到13上面，y的值应该是有26倍于此的改变，也就是0.0002 x 26 = 0.0052，所以可以猜测(13.0002)^2 = 169 + 0.0052 = 169.0052，而真实答案应该是36.00520004，超级接近。
关于这块的思想在之后13章的学习中还会用到：
等到时再来回顾。
dx表示法：x中十分微小的变化
概述：
再来看看这个式子：
右边的表达式的含义是当x中的变化非常小时，y中的变化与x中的变化的比值的极限，那假设x小得其中的变化几乎注意不到呢？此时我们就不用Δx来表示“x中的变化”了，而是用dx来表示“x中的十分微小的变化”，同样的对于y也可以用这种表示方法，也就是Δx的变化量要比dx的大，接下来就可以用一种不同且更加方便的方法来表达导数了，如下：
如果y = f(x)，它的导函数式子为：
，此时就可以用一个更加简便的方式来表达这个式子，也就是用：
来代替f'(x)
实践：
例一：
那么它的导数就可以用如下式子表示：
而如果用y = x^2来代替y，又有如下不同的表达方式：
例二：
在上面我们学习瞬时速度用过一个例子：如果汽车在时刻t的位置是：
那么它的速度是30t，而根据之前所学，其速度就是导函数f'(t)对吧，回忆一下：
所以：
而如果我们决定把位置称为p，从而有：
便可以写成：
并非所有的量都是用x和y来表达的。
总结：
量：
是y关于x的导数，如果：y = f(x)，那么：
跟f'(x)是一回事，最后需要谨记：
量
它根本不是一个分数，而它是当Δx->0时分数
的极限。
线性函数的导数：
概述：
接下来看一下简单的例子，例子虽简单，但是道出来的结论还是挺重要的， 假设f函数是线性的，这就意味着对于某个m和b，有：f(x) = mx + b，这其实是初等数学的知识：
那f'(x)会是什么呢？套导函数的公式：
于是就有：
也就是说不管x取何值，f'(x) = m，也就是线性函数的导数是常数。
为啥呢？书本上也有说，简单挼一下：
对于f'(x)其实它度量的是曲线y = f(x)在点(x, f(x))处的切线的斜率，而对于线性函数y = mx + b，它的斜率为m，y轴截距为b的一条直线，很明显这条直线上的任意一点的切线就是这条直线本身对吧，也就意味着不管x取何值，f'(x)的值就应该是m，因为曲线y = mx + b有固定的斜率m。
常数函数：
另外再说一下，如果f是常数函数，f(x) = b，其斜率总是0，因数常数函数可以表示为f(x) = 0x + b，其中斜率就可以看到是0对吧，而且对于所有的x，f'(x) = 0。
总结：
这里对其有两个总结，需要记住，在之外的求导中会经常用到：
1、线性函数的导数是常数；
2、常数函数的导数恒为0；
二阶导数和更高阶导数：
二阶导数：
对于一个函数f，它的导数为f'，而它其实也是一个新的函数，那么还可以对它再次求导，也就是导数的导数，称为二阶导，可以记作f''。
还是拿之前我们用过的函数举例：
它的导数为：
接下来我们对此结果再次求导，所以可以设：
而由于这是一个线性函数，其斜率为2，所以它的导数就是2，如下：
所以f的二阶导数是常数函数2，也就证明了对于所有的x，f''(x) = 2。
而在上面我们学过，对于f'(x)还有一个可以代替的式子：
所以同样的，对于二阶导也有类似的记号：
如果y = f(x)，那么可以用:
代替f''(x)，而对于y = f(x) = x^2，就有：
更高阶导数：
除了二阶，还可以有更高阶，比如三阶导，它可以用以下任意一种方式写出：
而第二种表式方法更加方便，因为如果四阶的话就可以这样写：
而不用这样比较不方便的表示：
而用这种形式也可以表示低阶，比如二阶：
没有取导数，用它也可以表示函数本身：
所以，比较通用的表示方式就是：任何导数都可以写成：
其中n为整数。
何时导数不存在？
绝对值函数，这个在之前学习切线时就举过例子：
从极限角度：
因为它有一个尖点，是无法画出它的切线的【也就是过(0,0)这点是无法顾及两边的图像的】，所以在x=0处导数也是不存在的，下面使用导数公式来证明一下这个结论：
而我们感兴趣的是x=0会发生什么，因为将其代入上述式子中就有：
这个极限我们之前https://www.cnblogs.com/webor2006/p/16524711.html就看过：
极限不存在，也就意味着f'(0)的值无定义，既0没有在f'的定义域中。
根据双侧极限的思想，分为左极限和右极限，只有左右极限都相等的情况下，双侧权限才存在。
同样的，可以将导数分为右导数和左导数，定义长这样：
如果导数存在，那么左右导数必存在且相等。
从斜率角度：
而从斜率的角度也可以推出该函数的导数是不存在的：
1、当从原点出发沿着该曲线向右移动时，它的斜率是1，因为x>0，所以f(x) = x，而它是一次函数，可以写成f(x) = 1 x，很明显斜率是1；
2、当从原点出发沿着该曲线向左移动时，它的斜率是-1，因为x<0，所以f(x) = -x，而它是一次函数，可以写成f(x) = -1 x，很明显斜率是-1；
由于左斜率不等于右斜率，所以在x=0处导数不存在。
总结：
对于绝对值函数它是一个连续函数，为啥？这里得回到上一次学习函数的连续性上了，对于函数的连续性需要满足如下三点要求，回忆一下：
关于这块的东东如果不太清楚的，可以参考它https://www.cnblogs.com/webor2006/p/16557028.html，
也就是目前我们知道存在不可导的连续函数【绝对值函数是连续的，但是在x=0处不可导】对吧，那么反过来：“会存在不连续的可导函数么？”，答案在下面就来阐述，不存在。
可导性和连续性：
概述：
对于第5章研究的两个重要的性质是：连续性和可导性，现在是时候将这俩概念联系在一起了，有这么一个非常重要的结论：
如果一个函数f在x上可导，那么它在x上连续。
比如在之后的第7章将要证明，sin(x)作为x的函数是可导的，它将自动暗示它在x处也是连续的，同样的结论也适用于其他的三角函数、指数函数和对数函数（除了在它们的垂直渐近线处）。
证明：【了解，你不可能记住这个证明过程的~~】
那如何来证明上面这么重要的一个结论呢？核心就是要证明：
要证明f在x上连续，根据连续函数的定义，就需要证明：
而我们将式子变换一下，令h = u -x，这种情况下u = h + x，并且当u -> x，h -> 0【因为h = u -x】，所以上述等式又可以变化成：
那么，接下来如果能证明等号两边都存在且相等，那么就可以得证了。
1、已知函数f在x上可导，这就意味着f'(x)存在，因此根据导函数的定义：
其中上式中包含了f(x)，很显然它是一定存在的，不然上式子就无从谈起了，所以等号右边的f(x)已经知道它存在了。
2、接下来就要证明等号左边的极限存在且等于右边的f(x)了，这里得从另一个极限开始了：
它可以分成两个因子：
很明显f'(x)是要存在的，不然上述式子肯定是有问题的。
3、接下来重点是要证明这个式子左右相等对吧：
此时还是需要用这个极限：
此时可以消去因子h就为：
它的极限上面也算了，等于0：
所以就可以得到：
而f(x)的值根据不依赖于极限，所以可以将它提出来就有：
所以就可以有：
所以就得证了：可导函数必连续，但是也要记得！！！连续函数并不总是可导哟【比如绝对值函数，它是连续函数，但是在x=0处是不可导的】~~
总结：
至此，通过两篇将第5章的内容给挼完了，知识点还是相当多的，也不是那么容易理解，不管怎样，这章是非常重要的一章，得要多消化，最后对于下面这个结论一定需要记住：
“可导函数必连续，但是连续函数并不总是可导的【比如绝对值函数，它是连续函数，但是在x=0处是不可导的】”
下一章则是求解微分问题，继续加油~~
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