简介

今天给大家介绍一个很经典的减治法解决假币问题的方法，改方法引自最优化算法一书。

问题：假币问题

在n枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币较轻。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，从而得知两组硬币的重量是否相同，或者哪一组更轻一些，假币问题（base coin problem）要求设计一个高效的算法来检测出这枚假币。

想法

解决假币问题的最自然的想法就是一分为二，也就是把n枚硬币分成两组，每组有n/2枚硬币，如果n为奇数，就留下一枚硬币，然后把两组硬币分别放到天平的两端。如果两组硬币的重量相同，那么留下的硬币就是假币；否则，用同样的方法对较轻的那组硬币进行同样的处理，因为假币一定在较轻的那组里。

在假币问题中，尽管我们把硬币分成了两组，但每次用天平比较后，只需解决一个规模减半的问题，所以，它属于一个间质减治算法。该算法在最坏情况下满足如下递推式：

  • T(n) = 0 当 n = 1 时
  • T(n) = T(n/2) + 1 当 n > 1 时

应用扩展递归技术求解这个递推式，得到T(n) = O(log<sub>2</sub>n)。

对于假币问题，将问题规模减半的算法很容易想到，但实际上，减半不是一个最好的选择，考虑不是把硬币分成两组，而是分成三组，前两组有[n/3]组硬币，其余的硬币作为第三组，将前两组硬币放到天平上，如果它们的重量不同，则假币一定在第三组中，用同样的方法对第三组进行处理；如果前两组的重量不同，则假币一定在较轻的一组中，用同样的方法对较轻的那组硬币进行处理。显然这个算法满足如下递推式：

  • T(n) = 0 当 n = 1 时
  • T(n) = T(n/3) + 1 当 n > 1 时

这个递推式的解是T(n) = O(log<sub>3</sub>n),将原问题一分为三从而获得了更少的比较次数。

算法

采用递归技术设计假币问题的算法，设计函数Coin实现假币问题，算法用伪代码描述如下：

假币问题Coin
输入：硬币所在数组的下标范围low和high，硬币的个数n
输出：假币在硬币集合中的序号
1. 如果n等于1，则该硬币即为假币，输出对应的序号，算法结束；
2. 计算3组的硬币个数num1、num2和num3；
3. add1=第一组硬币的重量和；add2=第二组硬币的重量和；
4. 根据情况执行下述三种操作之一：
    4.1 如果add1大于add2，则在第一组硬币中查找；
    4.2 如果add1大于add2，则在第二组硬币中查找；
    4.3 如果add1等于add2，则在第三组硬币中查找。

寄语

今天也是小落叶复习考试的一天，时间有限只能初步的给大家介绍有关假币问题，这一经典的减治算法。希望可以对大家有所帮助。