数据结构（一）
本节讲解的是
- 链表与邻接表
- 栈与队列
- （kmp）算法
链表
使用数组模拟单链表，双链表
使用数组模拟的链表，为静态链表，对单链表，开2个数组，其中1个用来存每个链表节点的值，另1个数组用来存每个节点的next指针。
对双链表，开3个数组，其中1个用来存每个链表节点的值，另外2个数组用来存每个节点的prev和next指针
单链表，用到比较多的是邻接表，邻接表经常用来存储图和树。（会在后续第三章讲图论时带出）
单链表练习题：Acwing - 826: 单链表（静态链表）
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int head = -1, idx; // head指针指向第一个节点, idx表示当前用了的下标
int e[N], ne[N]; // 其中 e 存放链表节点的值, ne 存放链表节点的next指针
// 插入到头节点
void add_to_head(int x) {
e[idx] = x;
ne[idx] = head;
head = idx;
idx++;
}
// 删除第k个插入的数后面的数
void del_after_k(int k) {
// 第k个插入的数的下标为k - 1
if(k == 0) head = ne[head]; // 删除头节点
else ne[k - 1] = ne[ne[k - 1]];
}
// 在第k个插入的数后面插入一个
void add_after_k(int k, int x) {
e[idx] = x;
ne[idx] = ne[k - 1];
ne[k - 1] = idx;
idx++;
}
int main() {
int m;
cin >> m;
while(m--) {
char op;
cin >> op;
if(op == 'H') {
int x;
cin >> x;
add_to_head(x);
} else if(op == 'D') {
int k;
cin >> k;
del_after_k(k);
} else if(op == 'I') {
int k, x;
cin >> k >> x;
add_after_k(k, x);
}
}
//输入完毕, 输出链表
for(int i = head; i != -1; i = ne[i]) {
printf("%d ", e[i]);
}
return 0;
}
双链表练习题：Acwing - 827: 双链表
// C++
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int l[N], r[N], e[N], idx, head = 0, tail = 1;
void init() {
// 头节点下标为0, 尾节点下标为1, idx固定从2开始
l[0] = -1;
r[0] = 1;
l[1] = 0;
r[1] = -1;
idx = 2;
}
void add(int k, int x) {
// 在下标为k的位置后面, 插入一个数x
e[idx] = x;
l[idx] = k;
r[idx] = r[k];
l[r[k]] = idx;
r[k] = idx;
idx++;
}
void del(int k) {
// 删除下标为k的数
r[l[k]] = r[k];
l[r[k]] = l[k];
}
int main() {
init();
int m;
cin >> m;
for(int i = 0; i < m; i++){
string op;
cin >> op;
int k, x;
if(op == "L") {
cin >> x;
add(0, x); // 在链表头插入
} else if(op == "R") {
cin >> x;
add(l[1], x);
} else if(op == "D") {
// 删除第k个插入的数, 第1个插入的数, 下标是2
cin >> k;
del(k + 1);
} else if(op == "IL") {
cin >> k >> x;
add(l[k + 1], x);
} else if(op == "IR") {
cin >> k >> x;
add(k + 1, x);
}
}
for(int i = r[head]; i != 1; i = r[i]) {
printf("%d ", e[i]);
}
return 0;
}
// Java
import java.util.Scanner;
/**
* @Author yogurtzzz
* @Date 2021/5/8 14:51
**/
public class Main {
static int[] l, r, e;
static int head = 0, tail = 1, idx = 0;
static void init(int n) {
l = new int[n + 10];
r = new int[n + 10];
e = new int[n + 10];
l[0] = -1;
r[0] = 1;
l[1] = 0;
r[1] = -1;
idx = 2;
}
static void add(int k, int x) {
e[idx] = x;
l[idx] = k;
r[idx] = r[k];
l[r[k]] = idx;
r[k] = idx;
idx++;
}
static void del(int k) {
r[l[k]] = r[k];
l[r[k]] = l[k];
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
init(n);
while(n-- > 0) {
String op = scanner.next();
if ("L".equals(op)) {
int x = scanner.nextInt();
add(0, x);
} else if ("R".equals(op)) {
int x = scanner.nextInt();
add(l[1], x);
} else if ("D".equals(op)) {
int k = scanner.nextInt();
del(k + 1);
} else if ("IL".equals(op)) {
int k = scanner.nextInt(), x = scanner.nextInt();
add(l[k + 1], x);
} else if ("IR".equals(op)) {
int k = scanner.nextInt(), x = scanner.nextInt();
add(k + 1, x);
}
}
for(int i = r[head]; i != 1; i = r[i]) {
System.out.printf("%d ", e[i]);
}
System.out.println();
}
}
栈和队列
栈，特性是后进先出，逻辑上可以理解为只有一个开口的桶，
队列，特性是先进先出，逻辑上可以理解为在两端有开口的桶，只能从其中一端插入，另一端取出，就像排队一样，先排队的会先被服务，后排队的后被服务。
这两个数据结构都非常简单，不细说。
数组模拟栈，练习题：Acwing - 828: 模拟栈
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int stack[N];
int top;
void push(int x) { stack[++top] = x; }
void pop() { top--; }
int query() { return stack[top]; }
bool empty() { return top <= 0; }
int main() {
int n, x;
cin >> n;
while(n--) {
string op;
cin >> op;
if(op == "push") {
cin >> x;
push(x);
} else if(op == "pop") {
pop();
} else if(op == "empty") {
if(empty()) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
} else if(op == "query") {
printf("%d\n", query());
}
}
return 0;
}
栈的应用，练习题：Acwing - 3302: 表达式求值
数组模拟队列，练习题：Acwing - 829: 模拟队列
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int queue[N];
int head = 0, tail = -1;
void push(int x) { queue[++tail] = x; }
void pop() { head++; }
bool empty() { return head > tail; }
int query() { return queue[head]; }
int main() {
int n, x;
cin >> n;
while(n--) {
string op;
cin >> op;
if(op == "push") {
cin >> x;
push(x);
} else if(op == "pop") {
pop();
} else if(op == "empty") {
if(empty()) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
} else if(op == "query") {
printf("%d\n", query());
}
}
return 0;
}
单调栈
应用场景：给定一个序列，对于序列中的每个数，求解它左边离他最近且比它小的数（或者右边，或者比它大）
比如对于序列[3, 4, 2, 7, 5]，求解每个数左边最近的且比它小的数（不存在则返回-1），答案是
[-1, 3, -1, 2, 2]
考虑的方法和双指针类似，先想一下暴力做法，再进行优化
暴力做法就是，先枚举i = 0~n，然后枚举j，j从i-1开始到0
int a[n] = {3, 4, 2, 7, 5};
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = i - 1; j >= 0; j--) {
if(a[i] > a[j]) {
printf("%d ", a[j]); // 输出
break; // 跳出循环, 继续对下一个i进行处理
}
}
}如果采用栈来做的话，就是对于i = 0~n，用一个栈来存i前面所有的数，而我们观察发现，有的数是不会作为答案的。对于 i 前面的数，比如 m 和 n 都小于i ，假设 m < n，则a[m]在a[n]的左边，如果a[m] ≥ a[n]，则a[m]是不会作为答案输出的。因为i往左寻找，最多找到n这个位置，而a[n]要比a[m]更小，所以不会再往左找到m。于是，我们只需要保证栈中的元素有单调性即可。
即，若m < n，且a[m] >= a[n]，则往栈中压入a[n]时，会删除先前压入的a[m]。最后保证栈中的元素是升序排列的。
而当需要找第i个数的左边最近的且比它小的数时，先将a[i]和栈顶元素比较，若栈顶元素≥a[i]，则弹出栈顶元素。因为对i后面的数，答案最多取到a[i]，所以此时的栈顶对i后面的数是无用的，直接删除。一直删除栈顶元素，直到栈顶元素＜a[i]，此时的栈顶就是答案，再把a[i]压入栈，继续下一个位置的判断。
练习题：Acwing - 830: 单调栈
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int stack[N];
int n, top;
void stack_push(int x) {
stack[++top] = x;
}
void stack_pop() {
top--;
}
int stack_top() {
return stack[top];
}
bool stack_empty() {
return top <= 0; // top == 0 时表示栈为空
}
int main() {
scanf("%d", &n);
int t;
for(int i = 0; i < n; i++) {
// 无需先读入数组再进行操作
// 可以同时读入数组并生成答案
scanf("%d", &t);
while(!stack_empty()) {
int e = stack_top();
// 当栈非空时, 查看栈顶元素和a[i]的关系
if(e >= t) stack_pop();
else {
printf("%d ", e);
stack_push(t);
break;
}
}
if(stack_empty()) {
printf("-1 ");
stack_push(t);
}
}
return 0;
}
更简短的代码
// 每个元素都只有一次压栈和出栈的机会，所以时间复杂度是O(n)
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int stk[N];
int top;
int main() {
int n, t;
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++) {
scanf("%d", &t);
while(top > 0 && stk[top] >= t) top--; // 保持栈为单调递增
if(top <= 0) printf("-1 "); // 栈空
else printf("%d ", stk[top]);
stk[++top] = t; // 入栈
}
return 0;
}
另一道练习题：Acwing - 131: 直方图中最大的矩形
核心思路是，对于每个位置的矩形，分别向左向右扩展，找到能扩展的左右边界，所组成的大矩形，就是当前位置的最大矩形。
假设直方图的下标为i，每个位置的矩形高度为h[i]。
则对于一个位置i，其左边界一定是第一个比h[i]高度小的位置，其右边界一定是第一个比h[i]小的位置。所以问题就变成了，对于每个i，求解其左侧第一个小于h[i]的位置，和其右侧第一个小于h[i]的位置。左右边界之间的长度就是这个大矩形的长，而h[i]就是大矩形的高。
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], l[N], r[N], stk[N];
int main() {
while(true) {
int n;
scanf("%d", &n);
if(n == 0) break;
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
// 计算每个位置左侧第一个比其小的
int top = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
while(top > 0 && a[stk[top]] >= a[i]) top--;
if(top > 0) l[i] = stk[top];
else l[i] = 0;
stk[++top] = i;
}
// 计算每个位置右侧第一个比其小的
top = 0;
for(int i = n; i >= 1; i--) {
while(top > 0 && a[stk[top]] >= a[i]) top--;
if(top > 0) r[i] = stk[top];
else r[i] = n + 1;
stk[++top] = i;
}
LL res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int left = l[i] + 1;
int right = r[i] - 1;
res = max(res, (LL)a[i] * (right - left + 1));
}
printf("%lld\n", res);
}
return 0;
}
单调队列
最经典的应用：求解滑动窗口中的最大值和最小值
也是先想一个暴力的做法，然后考虑一下能删掉那些元素，是否能得到单调性。
练习题：Acwing - 154: 滑动窗口
这道题的思路和上面的单调栈思路类似，不再赘述。注意队列里存放的是下标，而不是数组元素的值。这是因为随着窗口的滑动，需要移除左边的元素，此时存放下标会更加方便。
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, k;
int a[N], q[N]; // 其中a数组存放原始的数据, q数组用来做单调队列
int main() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
// 找出滑动窗口的最小值
int hh = 0, tt = -1; // hh是队头, tt是队尾
for(int i = 0; i < n; i++) {
// 队列非空, 且对头下标在滑动窗口左边界的左侧时, 移除队头
while(hh <= tt && q[hh] < i - k + 1) hh++;
while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt--; // 当队尾元素 >= 当前元素时, 移除队尾
q[++tt] = i; // 队列里从队头到队尾, 是单调递增的, 队头元素就是当前滑动窗口的最小值
if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]); // 从第k个位置开始, 进行输出
}
printf("\n");
// 找出滑动窗口的最大值
hh = 0, tt = -1;
for(int i = 0; i < n; i++) {
while(hh <= tt && q[hh] < i - k + 1) hh++;
while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt--;// 当队尾元素 <= 当前元素时, 移除队尾
q[++tt] = i; // 队列里从队头到队尾, 是单调递减的, 队头元素就是当前滑动窗口的最大值
if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
}
return 0;
}
KMP算法
时间复杂度O(n)的模式匹配算法。详解可参考我的这篇文章一文看懂KMP算法
练习题：Acwing - 831 : KMP字符串
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 10;
char p[N], s[M];
int ne[N]; // 针对模式串P的next数组
int n, m;
int main() {
// 字符串的起始下标从1开始, 方便处理边界
cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;
/* 如果用scanf读入的话
scanf("%d", &n);
scanf("%s", p + 1);
scanf("%d", &m);
scanf("%s", s + 1);
*/
// 先求解 next 数组
// 下标从1开始取, next[i] 的值, 表示以 i 为右端点的字串, 最大的前缀和后缀的长度, 这个长度不能超过 i
// 故 next[1] 的 值不能超过1, 故 next[1] = 0, 从下标 2 开始计算 next数组
for(int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
// 错开一位进行匹配, 每次匹配 i 和 j + 1 位, 第一次则匹配 2 和 1
while(j > 0 && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 当前面有匹配上的位时, 看看当前位是否匹配, 若不匹配, 需要回溯 j
if(p[i] == p[j + 1]) j++; // 该位匹配上了, 则 j 往后移动一位, 并且当前位置的 next[i] = j;
ne[i] = j;
}
// 求解完毕 next 数组, 开始进行模式匹配
for(int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
while(j > 0 && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 回溯 j
if(s[i] == p[j + 1]) j++; // 当前位匹配, 后移j
if(j == n) {
// 匹配完成, 开始下一次可能的匹配
printf("%d ", i - n);
j = ne[j];
}
}
return 0;
}
