自回归模型例题 自回归模型公式

1.线性回归

1.1 定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

• 特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，多于一个自变量情况的叫做多元回归

通用公式：
$h(w)=w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n+b=W^TX+b$

• w 叫做特征权重
• x 叫做特征值
• b 叫做偏置
  $其中W、X可以理解为矩阵：W = \left( \begin{matrix} \ w_0 \\ \ w_1 \\ \ w_2 \\ \ w_3 \\ \ \cdots \end{matrix} \right),X = \left( \begin{matrix} \ x_0 \\ \ x_1 \\ \ x_2 \\ \ x_3 \\ \ \cdots \end{matrix} \right)$
• 默认将w₀x₀ = b

1.2 线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中主要有两种模型，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征或两个特征举例子。

• 线性关系

• 单变量线性关系：



• 多变量线性关系：

注释：单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系

• 非线性关系：

注释：为什么会这样的关系呢？原因是什么？

如果是非线性关系，那么回归方程可以理解为多幂次函数

2.损失函数理解

对于上述的线性回归公式，向量 x 表示样本为已知值，而 w、b 则是模型的参数，是未知的。我们的目标则是根据已知训练集去求解合适的 w、b 参数值。

对于 w、b 参数的组合有无数种，那么也就存在无数条直线能够拟合数据集。此时，就需要损失函数来评估那条直线是我们想要的。

损失函数，是用来衡量模型优劣的一个函数。从损失函数入手，即可得到最佳的 w、b 参数的值。

现在，我们要去定义一个损失函数。经过思考，我们发现模型预测的结果和真实结果之间差距越小，则模型拟合效果越好。

2.1 损失函数公式

$J(f(x),y)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_i)-y_i)^2$

• yi 表示真实结果
• f(xi) 表示预测结果
• 又称最小二乘法：最小化误差平方和求得模型参数。

我们计算所有样本的预测值和真实值的差距，取总差距最小的直线作为最终的直线（模型）。此时，最优的 w、b 的值我们就得到了。

损失函数：用于衡量模型能力。

2.2 优化算法

如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）

线性回归经常使用的两种优化算法

• 正规方程：可以直接求解，准确的结果。
• 梯度下降法：通过迭代的方式一步一步的计算 w、b，近似最优解

2.2.1 正规方程

我们用 X 代表所有的样本，w （列向量）代表样本特征的权重，损失函数公式可以修改为：

$J(w)=(Xw-y)^2$

（1）令 Xw -y 为 N, 则：

（2）N² 的导数为：2N * N 的导数

（3）2(Xw -y)*X(w1, w2, w3…) = 2(Xw -y)*X(1, 1, 1…) = 2(Xw -y)*X

公式推导过程：

1. 任何一个矩阵乘以单位矩阵等于矩阵自身
2. M矩阵xN矩阵 不一定等于 N矩阵xM矩阵

推导注释：

（1）对损失函数求导得到的。

（2）XX^T 先让 X 变成方阵，方便将其转换为单位矩阵

（3）（XX^T）（XX^T）^-1 得到单位矩阵

（4）约掉 X 之后的式子

（5）约掉 2，将 y 放到等号右侧

（6）再将 X 变成方阵，方便计算其单位矩阵

（7）将单位矩阵约掉

（8）求解到最后 w 向量的计算公式

注意：w 向量是（w0, w1, w2… wn），其中 w0 就是偏置 b, w1 开始就是每一个权重值。

正规方程公式：
$W=(XX^T)^{-1}X^TY$

• 如果特征X特征特别多，用正规方程求解权重和偏置，计算量非常大，因此正规方程不适合大数据量的场景。
• 因为正规方程是一步计算到位，因此正规方程容易受到异常值的影响，导致最终的结果离真实结果偏差较大。不能在计算过程中对其进行影响，造成过拟合。

2.2.2梯度下降(Gradient Descent)

2.2.2.1 什么是梯度下降

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。

假设这样一个场景：

一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。

因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。

具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，（同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走）。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。

首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。

我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。

根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数值变化最快的方向。 所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。

2.2.2.2 梯度的概念

梯度是微积分中一个很重要的概念

• 在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率；
• 在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向；

在微积分里面，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。

这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度！我们需要到达山底，就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方，梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向，这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的反方向一直走，就能走到局部的最低点！

2.2.2.3 梯度下降公式

• α: 学习率(步长). 不能太大 也 不能太小.
• 梯度是上升最快的方向, 我们需要是下降最快的方向, 所以需要加负号

α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步子跨的太大，其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！

梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文提到，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号我们通过两个图更好理解梯度下降的过程

2.2.2.4 梯度下降优化过程

• 给定初始位置、步长
• 计算该点当前的上升最快的负方向
• 向该负方向移动步长
• 重复 2-3 步 直至收敛

• 两次差距小于指定的阈值
• 达到指定的迭代次数

例如（单变量）：

函数：J(θ) = θ², 求当 θ 为何值时，J(θ) 值最小

J(θ) 函数关于 θ 的导数为: 2θ

初始化:

1. 起点为： 1
2. 学习率：α = 0.4
   我们开始进行梯度下降的迭代计算过程:

第一步：θ = 1

第二步：θ = θ - α * (2θ) = 1 - 0.4 * 2 = 0.2

第三步：θ = θ - α * (2θ) = 0.2 - 0.4 * 0.4 = 0.04

第四步：θ = θ - α * (2θ) = 0.04 - 0.4 * 0.08 = 0.008

第五步：θ = θ - α * (2θ) = 0.008 - 0.4 * 0.016 = 0.0016

…

第N步：θ 已经极其接近最优值 0，J(θ) 也接近最小值。

例子（多变量）：

函数：J(θ) = θ1² + θ2²，求 θ1、θ2 为何值时，J(θ) 的值最小

J(θ) 函数关于 θ1 的导数为: 2θ1

J(θ) 函数关于 θ2 的导数为: 2θ2

则 J(θ) 的梯度为：(2θ1, 2θ2)

初始化：

1. 起点为: (1, 3)
2. 学习率为:α = 0.1

我们开始进行梯度下降的迭代计算过程:

第一步：(θ1, θ2) = (θ1, θ2) - α * (2θ1, 2θ2) = (θ1-α*2θ1, θ1-α*2θ1) = (1-0.1*2, 3-0.1*6)=(0.8, 2.4)

第二步：(θ1, θ2) = (θ1, θ2) - α * (2θ1, 2θ2) = (θ1-α*2θ1, θ1-α*2θ1) = (0.8-0.1*1.6, 2.4-0.1*4.8)=(0.64, 1.92)

…

第N步： θ1、θ2 已经极其接近最优值，J(θ) 也接近最小值。

注意：通过梯度下降求出的w、b不能保证是全局最优权重和偏置，只能作为当前局部内最优权重和偏置。例如下图：

通过给出不同的起点和学习率，最低点有可能在左边，也有可能在右边，所以只能说梯度下降只能是局部最优。优化动态图显示：

2.2.2.5 梯度下降公式推导

步骤:

1. 确认优化模型的假设函数和损失函数
2. 算法相关参数初始化，例如：权重、偏置初始值、学习率
3. 使用梯度下降公式，迭代求解模型参数（权重、偏置）

损失函数求导：

均方误差

参数更新公式：

$w= w-\alpha\cdot\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(f(x_i)-y_i)$

注意:

2.2.2.6 其他梯度下降算法

• 全梯度下降算法（FGD）

• 每次迭代时, 使用全部样本的梯度值

• 随机梯度下降算法（SGD）

• 每次迭代时, 随机选择并使用一个样本梯度值

• 小批量梯度下降算法（mini-bantch）

• 每次迭代时, 随机选择并使用小批量的样本梯度值

• 随机平均梯度下降算法（SAG）

• 每次迭代时, 随机选择一个样本的梯度值和以往样本的梯度值的均值
• 假设： 训练集有 A B C D E F G H 共 8 个样本

1. 随机选择一个样本，假设选择 D 样本，计算其梯度值并存储到列表：[D]，然后使用列表中的梯度值均值，更新模型参数。
2. 随机再选择一个样本，假设选择 G 样本，计算其梯度值并存储到列表：[D, G]，然后使用列表中的梯度值均值，更新模型参数。

• 随机再选择一个样本，假设又选择了 D 样本, 重新计算该样本梯度值，并更新列表中 D 样本的梯度值，使用列表中梯度值均值，更新模型参数。
• …以此类推，直到算法收敛。

结论：

• 全梯度下降：由于使用全部数据集，训练速度较慢
• 随机梯度下降：综合虑迭代次数和运行时间，SG表现性能都很好，能在训练初期快速摆脱初始梯度值，快速将平均损失函数降到很低。但要注意，在使用SG方法时要慎重选择步长，否则容易错过最优解。
• 小批量梯度下降：结合了 SG 的胆大和 FG 的心细，它的表现也正好居于 SG 和 FG 二者之间。目前使用最多，正是因为它避开了 FG 运算效率低成本大和 SG 收敛效果不稳定的缺点。
• 随机平均梯度下降：训练初期表现不佳，优化速度较慢。这是因为我们常将初始梯度设为0，而 SAG 每轮梯度更新都结合了上一轮梯度值。

3.过拟合和欠拟合

3.1 过拟合

• 一个假设在训练数据上能够获得比其他假设更好的拟合， 但是在测试数据集上却不能很好地拟合数据，此时认为这个假设出现了过拟合的现象。(模型过于复杂)
• 原因：原始特征过多，存在一些嘈杂特征， 模型过于复杂是因为模型尝试去兼顾各个测试数据点
• 解决办法：

1. 重新清洗数据
2. 增大数据的训练量
3. 正则化
4. 减少特征维度，防止维灾难

3.2 欠拟合

• 一个假设在训练数据上不能获得更好的拟合，并且在测试数据集上也不能很好地拟合数据，此时认为这个假设出现了欠拟合的现象。(模型过于简单)
• 原因：学习到数据的特征过少
• 解决办法：

1. 添加其他特征项
2. 添加多项式特征，这个在机器学习算法里面用的很普遍，将线性模型通过添加二次项或者三次项使模型泛化能力更强。

3.3 正则化

在模型训练时，数据中有些特征影响模型复杂度、或者某个特征的异常值较多，所以要尽量减少这个特征的影响（甚至删除某个特征的影响），这就是正则化。

注：调整时候，算法并不知道某个特征影响，而是去调整参数得出优化的结果

3.3.1 L1正则化

$J(w)=MSE(w)+\alpha\sum_{i=1}^n|w_i|$

• MSE(w)：均方误差
• L1 正则化会使得权重趋向于 0，甚至等于 0，使得某些特征失效，达到特征筛选的目的
• 使用 L1 正则化的线性回归模型是 Lasso 回归
• α 叫做惩罚系数，该值越大则权重调整的幅度就越大，即：表示对特征权重惩罚力度就越大。

3.3.2 L2正则化

$J(w)=MSE(w)+\alpha\sum_{i=1}^nw_i^2$

• L2 正则化会使得权重趋向于 0，一般不等于 0
• 使用 L2 正则化的线性回归模型是岭回归。
• α 叫做惩罚系数，该值越大则权重调整的幅度就越大，即：表示对特征权重惩罚力度就越大。

3.4 维灾难

随着维度的增加，分类器性能逐步上升，到达某点之后，其性能便逐渐下降。

原因：随着维度的增加，相对样本数量将变得越来越少。虽然能够对训练样本很好分类，但由于特征多，样本数量少，导致学习不充分，泛化能力差。

4.正则化线性模型

4.1 Ridge Regression (岭回归，又名 Tikhonov regularization)

岭回归是线性回归的正则化版本，即在原来的线性回归的 cost function 中添加正则项（regularization term）:
$\alpha\sum_{i=1}^n\theta_i^2$
以达到在拟合数据的同时，使模型权重尽可能小的目的,岭回归代价函数:
KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 10: J(w)=MSE(\̲)̲+\alpha\sum_{i=…
即：
$J(\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(W^T\cdot X^i-Y^i)^2+\alpha\sum_{i=1}^n\theta_i^2$

• α=0：岭回归退化为线性回归

4.2 Lasso Regression(Lasso 回归)

Lasso 回归是线性回归的另一种正则化版本，正则项为权值向量的ℓ1范数。
Lasso回归的代价函数 ：
$J(\theta)=MSE(\theta)+\alpha\sum_{i=1}^n|\theta_i|$

【注意 】

• Lasso Regression 的代价函数在 θi=0处是不可导的.
• 解决方法：在θi=0处用一个次梯度向量(subgradient vector)代替梯度，如下式
  Lasso Regression 的次梯度向量:
  Lasso Regression 有一个很重要的性质是：倾向于完全消除不重要的权重。

例如：当α 取值相对较大时，高阶多项式退化为二次甚至是线性：高阶多项式特征的权重被置为0。

也就是说，Lasso Regression 能够自动进行特征选择，并输出一个稀疏模型（只有少数特征的权重是非零的）。

4.3 Elastic Net (弹性网络)

弹性网络在岭回归和Lasso回归中进行了折中，通过 混合比(mix ratio) r 进行控制：

r=0：弹性网络变为岭回归
r=1：弹性网络便为Lasso回归

弹性网络的代价函数 ：
$J(\theta)=MSE(\theta)+r\alpha\sum_{i=1}^n|\theta_i|+\frac{1-r}{2}\alpha\sum_{i=1}^n\theta^2$
一般来说，我们应避免使用朴素线性回归，而应对模型进行一定的正则化处理