深度学习在线教育平台实践---深度学习推荐算法

在本节中，我们将基于内容的推荐算法，与基于协同过滤的推荐算法，集合在一起，形成深度学习推荐算法，同时为了提高运行效率，我们还将介绍算法的向量表示。
在这里我们希望同时学习学生对题目需要程度的参数集{θ(1),θ(2),...,θ(nu)} { θ ( 1 ) , θ ( 2 ) , . . . , θ ( n u ) } 和每道题目的特征向量{x(1),x(2),...,x(nm)} { x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . , x ( n m ) } ，我们可以将上两节的代价函数进行合并，上两节的代价函数如下所示：

J(θ(1),θ(2),...,θ(nu))=12∑j=1nu∑i:r(i,j)=1(θ(j)2x(i)−y(i,j))2+λ2∑j=1nu∑k=1nθ(j)k2 J ( θ ( 1 ) , θ ( 2 ) , . . . , θ ( n u ) ) = 1 2 ∑ j = 1 n u ∑ i : r ( i , j ) = 1 ( θ ( j ) 2 x ( i ) − y ( i , j ) ) 2 + λ 2 ∑ j = 1 n u ∑ k = 1 n θ k ( j ) 2

J(x(1),x(2),...,x(nm))=12∑i=1nm∑i:r(i,j)=1(θ(j)2x(i)−y(i,j))2+λ2∑i=1nm∑k=1nx(i)k2 J ( x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . , x ( n m ) ) = 1 2 ∑ i = 1 n m ∑ i : r ( i , j ) = 1 ( θ ( j ) 2 x ( i ) − y ( i , j ) ) 2 + λ 2 ∑ i = 1 n m ∑ k = 1 n x k ( i ) 2

我们先来分析第一项也就是平方和叠加项，第一个公式的意思是对每个用户，求出该用户所有打过分的影片，求出计算出的打分与用户实际打分之间误差的平方和，第二个公式的意思是对每部影片，求出所有对这部影片打过分的用户，求出计算出的打分与用户实际打分之间误差的平方和。实际上，这两个求误差平方和项计算出来的结果都是所有打过分的影片，计算的打分值与实际打分值之差的平方和，即这两项都等价于：

∑i:r(i,j)=1(θ(j)2x(i)−y(i,j))2 ∑ i : r ( i , j ) = 1 ( θ ( j ) 2 x ( i ) − y ( i , j ) ) 2

所以我们得到新的代价函数公式为：

J(x(1),x(2),...,x(nm),θ(1),θ(2),...,θ(nu))=∑i:r(i,j)=1(θ(j)2x(i)−y(i,j))2+λ2∑i=1nm∑k=1nx(i)k2+λ2∑j=1nu∑k=1nθ(j)k2 J ( x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . , x ( n m ) , θ ( 1 ) , θ ( 2 ) , . . . , θ ( n u ) ) = ∑ i : r ( i , j ) = 1 ( θ ( j ) 2 x ( i ) − y ( i , j ) ) 2 + λ 2 ∑ i = 1 n m ∑ k = 1 n x k ( i ) 2 + λ 2 ∑ j = 1 n u ∑ k = 1 n θ k ( j ) 2

我们学习算法要优化的目标就变为：

minx(1),x(2),...,x(nm)θ(1),θ(2),...,θ(nu)J(x(1),x(2),...,x(nm),θ(1),θ(2),...,θ(nu)) min x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . , x ( n m ) θ ( 1 ) , θ ( 2 ) , . . . , θ ( n u ) J ( x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . , x ( n m ) , θ ( 1 ) , θ ( 2 ) , . . . , θ ( n u ) )

与之前算法不同的是，我们这里不再需要传统线性回归

y=wx+b y = w x + b 因为根据上一节内容， θ(0)=0 θ ( 0 ) = 0 ，所以我们不再需要向 x x 和 θ θ 上添加第0维了，因此 x∈Rn,θ∈Rn x ∈ R n , θ ∈ R n ，在我们这个问题中 n=2 n = 2 ，表示题目是知识点1还是知识点2。

我们首先利用随机数初始化

{θ(1),θ(2),...,θ(nu)} { θ ( 1 ) , θ ( 2 ) , . . . , θ ( n u ) } 和每道题目的特征向量 {x(1),x(2),...,x(nm)} { x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . , x ( n m ) } 为小的随机数。

对于

i=1,…,nm;k=1,…,n i = 1 , … , n m ; k = 1 , … , n ：

x(i)k=x(i)k−α(∑i:r(i,j)=1(θ(j)Tx(i)−y(i,j))θ(j)k+λx(i)k) x k ( i ) = x k ( i ) − α ( ∑ i : r ( i , j ) = 1 ( θ ( j ) T x ( i ) − y ( i , j ) ) θ k ( j ) + λ x k ( i ) )

对于

j=1,…,nu;k=1,…,n j = 1 , … , n u ; k = 1 , … , n ：

θ(j)k=θ(j)k−α(∑i:r(i,j)=1(θ(j)Tx(i)−y(i,j))x(i)k+λθ(j)k) θ k ( j ) = θ k ( j ) − α ( ∑ i : r ( i , j ) = 1 ( θ ( j ) T x ( i ) − y ( i , j ) ) x k ( i ) + λ θ k ( j ) )

当训练完成之后，如果学生j没有见过题目i，我们希望预测学生j对题目i的需要程度，进而决定是否向学生j推荐题目i，方法如下所示：

θ(j)Tx(i) θ ( j ) T x ( i )

得到这个值之后，我们就可以决定是否向学生j推荐题目i了。

在前面章节中，我们讨论算法时都是用下标形式来讨论的，这样做的好处是比较直观，我们很容易理解算法。但是在实际应用中，如果直接应用前面章节中的公式，那么计算效率将是比较低的。因此，我们通常将算法转化为矩阵运算形式。

我们来看我们所研究的数据集：

*	题目	张一	李二	王三	赵四
x(1) x ( 1 )	题目1	5	5	0	0
x(2) x ( 2 )	题目2	5	？	？	0
x(3) x ( 3 )	题目3	？	4	0	？
x(4) x ( 4 )	题目4	0	0	5	4
x(5) x ( 5 )	题目5	0	0	5	？

我们可以将上述评分结果，组成一个结果矩阵Y，如下所示：

Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢5.05.0?0.00.05.0?4.00.00.00.0？0.05.05.00.00.0?4.0?⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥ Y = [ 5.0 5.0 0.0 0.0 5.0 ? ？ 0.0 ? 4.0 0.0 ? 0.0 0.0 5.0 4.0 0.0 0.0 5.0 ? ]

由上面定义可以看出，

Y∈Rnm×nu Y ∈ R n m × n u ，即行对应于某道题目，列对应于某个用户。我们以前的 y(i,j)=Yi,j=θ(j)Tx(i) y ( i , j ) = Y i , j = θ ( j ) T x ( i ) 。

则结果矩阵可以表示为：

Y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢5.05.0?0.00.05.0?4.00.00.00.0？0.05.05.00.00.0?4.0?⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢θ(1)Tx(1)θ(1)Tx(2)θ(1)Tx(3)θ(1)Tx(4)θ(1)Tx(5)θ(2)Tx(1)θ(2)Tx(2)θ(2)Tx(3)θ(2)Tx(4)θ(2)Tx(5)θ(3)Tx(1)θ(3)Tx(2)θ(3)Tx(3)θ(3)Tx(4)θ(3)Tx(5)θ(4)Tx(1)θ(4)Tx(2)θ(4)Tx(3)θ(4)Tx(4)θ(4)Tx(5)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ Y = [ 5.0 5.0 0.0 0.0 5.0 ? ？ 0.0 ? 4.0 0.0 ? 0.0 0.0 5.0 4.0 0.0 0.0 5.0 ? ] = [ θ ( 1 ) T x ( 1 ) θ ( 2 ) T x ( 1 ) θ ( 3 ) T x ( 1 ) θ ( 4 ) T x ( 1 ) θ ( 1 ) T x ( 2 ) θ ( 2 ) T x ( 2 ) θ ( 3 ) T x ( 2 ) θ ( 4 ) T x ( 2 ) θ ( 1 ) T x ( 3 ) θ ( 2 ) T x ( 3 ) θ ( 3 ) T x ( 3 ) θ ( 4 ) T x ( 3 ) θ ( 1 ) T x ( 4 ) θ ( 2 ) T x ( 4 ) θ ( 3 ) T x ( 4 ) θ ( 4 ) T x ( 4 ) θ ( 1 ) T x ( 5 ) θ ( 2 ) T x ( 5 ) θ ( 3 ) T x ( 5 ) θ ( 4 ) T x ( 5 ) ]

我们令设计矩阵X为：

X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x(1)Tx(2)Tx(3)Tx(4)Tx(5)T⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ X = [ x ( 1 ) T x ( 2 ) T x ( 3 ) T x ( 4 ) T x ( 5 ) T ]

其中

X∈Rnm×n X ∈ R n m × n 的矩阵。

上式中两侧的横线代有将列向量转置为行向量，同样我们令参数矩阵

Θ Θ 为：

Θ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢θ(1)Tθ(2)Tθ(3)Tθ(4)Tθ(5)T⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ Θ = [ θ ( 1 ) T θ ( 2 ) T θ ( 3 ) T θ ( 4 ) T θ ( 5 ) T ]

其中

Θ∈Rnu×n Θ ∈ R n u × n 。

有了上面两个定义，我们就可以将结果矩阵表示为：

Y=X⋅ΘT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x(1)Tx(2)Tx(3)Tx(4)Tx(5)T⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⋅[θ(1)θ(2)θ(3)θ(4)] Y = X ⋅ Θ T = [ x ( 1 ) T x ( 2 ) T x ( 3 ) T x ( 4 ) T x ( 5 ) T ] ⋅ [ θ ( 1 ) θ ( 2 ) θ ( 3 ) θ ( 4 ) ]

上面讨论的是前向传播问题，而在计算梯度和利用随机梯度下降算法来进行学习时，还需要用我们之前介绍的公式来计算。

有了这些理论知识之后，我们就可以来解决一类非常常见的推荐问题了，例如学生j观做过题目i，我们就可以向学生j推荐5个他可能需要的题目了。

我们首先取出题目

i i 的特征向量x(i)x(i)，然后对所有其他题目算出欧式距离 d(l) d ( l ) ：

d(l)=∥x(i)−x(l)∥22,l=1,2,...,nm且l≠i d ( l ) = ‖ x ( i ) − x ( l ) ‖ 2 2 , l = 1 , 2 , . . . , n m 且 l ≠ i

对于所有

d(l) d ( l ) 按从小到大进行排序，选出其中距离值最小的5个，就可以作为结果推荐给用户 j j <script type="math/tex" id="MathJax-Element-41">j</script>了。

这里面实际上还有一个问题，如果我们有成千上万部影片，我们算出某部影片的与其他所有影片的欧式距离，并从小到大排序，最后选出5个最小的推荐给用户，这将花费很长时间，用户肯定不愿意等待那么长时间。怎么解决这一问题呢？我们可以通过一个定时启动的后台线程，算出所有影片之间的欧式距离，并按从小到大排序，然后缓存在NoSQL数据库中，这样需要向用户推荐时，直接返回缓存中结果就可以了。如果我们定时启动的后台线程运行频率足够的话，我们就可以得到相对实时的效果了。

在这一节中，我们讲述了基于深度学习的推荐系统。但是在这里我们有一个实际问题，我们一直没有讨论，就是推荐系统的冷启动问题，如何从对学生一无所知开始进行推荐，这是一个非常实际的问题，在下一节中，我们将讨论怎样解决这个问题。