处理有约束的优化问题时，一种常见的处理方法是: 将约束条件作为惩罚项加到目标函数中。"惩罚"是一个很形象的称呼，意思是优化过程迭代到约束条件之外时给与惩罚，或者说负反馈。例如，我们在处理最小化函数值 f f f时，在f中增加一些项，这些项会使得迭代点在可行域之外时，增大函数f的值，这些项就起到了惩罚的作用
这些约束条件可以是等式，也可以是不等式，又或者是两者都有。
在处理等式约束时，常常使用外点罚函数法，意思是迭代点允许在可行域之外(其实非常自然，因为等式约束是一种"很严格"的约束，迭代不要限制地太紧了，不然都不好迭代优化);对于不等式约束，常使用内点罚函数法，意思是不让迭代点到可行域之外。内点法适用于只有不等式约束的问题。在对函数添加罚函数后，就将有约束的优化问题转换为了无约束优化问题。
外点罚函数法等式约束外点罚函数法
考虑问题
min
x
f
(
x
)
x
∈
R
n
s
.
t
.
c
i
(
x
)
=
0
i
∈
E
\min_x f(x) \quad x\in \mathbb{R^n}\\ s.t. \ \ c_i(x)=0 \ \ i \in \mathcal E
xminf(x)x∈Rns.t. ci(x)=0 i∈E
最自然的想法，把约束条件的平方作为罚函数，即
P
E
(
x
,
σ
)
=
f
(
x
)
+
1
2
σ
∑
i
c
i
2
(
x
)
P_E(x, \sigma)=f(x)+\frac{1}{2}\sigma \sum_i c_i^{2}(x)
PE(x,σ)=f(x)+21σi∑ci2(x)
其中第二项为惩罚项，sigma称为罚因子。这种方法称为等式约束的二次外点罚函数法。其迭代过程与收敛性的证明参考文在文的《最优化计算方法》P186
上面我们说，外点罚函数法常用于处理等式约束，但如果通过巧妙的设计，也可以用于不等式约束，例如对于如下问题
不等式约束外点罚函数法
min
x
f
(
x
)
x
∈
R
n
s
.
t
.
c
i
(
x
)
≤
0
i
∈
I
\min_x f(x) \quad x\in \mathbb{R^n}\\ s.t. \ \ c_i(x)\le0 \ \ i \in \mathcal I
xminf(x)x∈Rns.t. ci(x)≤0 i∈I
将二次罚函数设定为如下样式
c
~
i
(
x
)
=
max
(
x
i
(
x
)
,
0
)
\tilde c_i(x)=\max (x_i(x),0)
c~i(x)=max(xi(x),0)
那么有
P
I
(
x
,
σ
)
=
f
(
x
)
+
1
2
σ
∑
i
c
~
i
2
(
x
)
P_I(x, \sigma)=f(x)+\frac{1}{2}\sigma \sum_i \tilde c_i^{2}(x)
PI(x,σ)=f(x)+21σi∑c~i2(x)
可见，此时也允许迭代点在可行域之外迭代。值得注意的是，
P
I
P_I
PI仍然是可导函数，进而可以用梯度类算法求解。
同时含有等式约束与不等式约束的外点罚函数法
对于如下问题
min
x
f
(
x
)
x
∈
R
n
s
.
t
.
c
i
(
x
)
≤
0
i
∈
I
c
~
i
(
x
)
=
0
i
∈
E
\min_x f(x) \quad x\in \mathbb{R^n}\\ s.t. \ \ c_i(x)\le0 \ \ \ i\in \mathcal I \\ \tilde c_i(x)= 0 \ \ \ i\in \mathcal E
xminf(x)x∈Rns.t. ci(x)≤0 i∈Ic~i(x)=0 i∈E
把两个罚函数相加即可
P ( x , σ ) = f ( x ) + 1 2 σ ( ∑ i c i 2 ( x ) + ∑ i c ~ i 2 ( x ) ) P(x, \sigma)=f(x)+\frac{1}{2}\sigma (\sum_i c_i^{2}(x) + \sum_i \tilde c_i^{2}(x)) P(x,σ)=f(x)+21σ(i∑ci2(x)+i∑c~i2(x))
内点罚函数法内点法使用于只有不等式约束的优化问题。其思想是: 为了使得迭代过程始终在可行域范围内，如果迭代点迭代到可行域的边界，那么给它一个极大的惩罚。这个惩罚函数的形状就像一睹墙，或者说示性函数。这个惩罚项可以用对数函数、倒数函数构造
例如对于如下问题:
min
x
f
(
x
)
x
∈
R
n
s
.
t
.
c
i
(
x
)
≤
0
i
∈
I
\min_x f(x) \quad x\in \mathbb{R^n}\\ s.t. \ \ c_i(x)\le0 \ \ i \in \mathcal I
xminf(x)x∈Rns.t. ci(x)≤0 i∈I
保持迭代点含于可行域内部的方法是 定义障碍函数
G
(
x
,
r
)
=
f
(
x
)
十
r
B
(
x
)
G(x, r)=f(x) 十 r B(x)
G(x,r)=f(x)十rB(x)
其中
B
(
x
)
\mathbf{B}(\mathbf{x})
B(x) 是连续函数, 当点
x
\mathbf{x}
x 趋向可行域 边界时,
B
(
x
)
→
+
∞
B(x) \rightarrow+\infty
B(x)→+∞
两种最重要的形式
B
(
x
)
=
∑
i
=
1
m
1
g
i
(
x
)
B
(
x
)
=
−
∑
i
=
1
m
log
g
i
(
x
)
\begin{aligned} &B(x)=\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{g_{i}(x)} \\ &B(x)=-\sum_{i=1}^{m} \log g_{i}(x) \end{aligned}
B(x)=i=1∑mgi(x)1B(x)=−i=1∑mloggi(x)
r是很小的正数。这样, 当x趋向边界时, 函数
G
(
x
,
r
)
→
+
∞
G(\mathbf{x}, \mathbf{r}) \rightarrow +\infty
G(x,r)→+∞ ； 否则, 由于
r
\mathbf{r}
r 很小, 则函数
G
(
x
,
r
)
\mathbf{G}(\mathbf{x}, \mathbf{r})
G(x,r) 的取值近似
f
(
x
)
\mathbf{f}(\mathbf{x})
f(x) 。因此, 可通过求解 下列问题得到的近似解:
min
G
(
x
,
r
)
s
.
t
.
x
∈
i
n
t
S
\min G(x, r) \\ s.t. \ \ x \in intS
minG(x,r)s.t. x∈intS
由于
B
(
x
)
\mathrm{B}(\mathrm{x})
B(x) 的存在，在可行域边界形成“围墙”, 因此的解x必含于可行域的内部
B(x)的阻挡作用是自动实现的, 因此从计算的观点看,可当作无约束问题来处理
- 《最优化计算方法》文再文
- 《凸优化》Stephen Boyd
