交错排列(Alternating Permutation)问题详解

写在前面

本文详细讨论一道组合数学的经典问题：交错排列问题，参考总结自组合学大师​​Richard P. Stanley​​​的文章​​A Survey of Alternating Permutations​​,以及自己的一点理解，如果有不对的地方请大家指出，谢谢！文章有需要者可直接点击链接下载或从我分享的资源中下载。

交错排列问题简介

设$\pi=a_1a_2\cdots a_n\in\mathbb{Z}_n^+!,$ 如果排列 $\pi$满足$a_1>a_2<a_3>\cdots,$ 则称 $\pi$是$n$元集$\mathbb{Z}_n^+$上的一个交错排列；如果排列$\pi$满足$a_1<a_2>a_3<\cdots,$ 则称 $\pi$是$n$元集$\mathbb{Z}_n^+$上的一个反交错排列。

记$\mathbb{Z}_n^+!$中交错排列的个数为$E_n($称为Euler数$)$。

下面我们采用递推关系及指数型生成函数的方法求解$E_n$的表达式。

求解过程

令$0\leqslant k \leqslant n$, 从$\mathbb{Z}_n^{+}!$中选取其$k$子集$S$, 有$\binom{n}{k}$种取法; 由反交错排列定义，可设$\bar{S}=\mathbb{Z}_n^+!-S$,在$S$中选取反交错排列$u$，有$E_k$种取法，并在 $\bar{S}$ 中选取反交错排列$v$，有$E_{n-k}$种取法；

设$w$为$n+1$元排列，包含排列$u$的逆序列$($ 即，若$u$表示为$u_1u_2\cdots u_k$,则$u$的逆序列表示为$u_k\cdots u_2u_1$ $)$、元素$n+1$和排列$v$，

则当$n\geqslant2$时，可以这种排列的方式得到唯一的$w$ $($其实可以分两种情况，即 $k$ 为奇数或偶数，但在这两种情况下只需变换元素$n+1$的位置，即可确定唯一的序列$w$ $)$，其中包含交错排列和反交错排列。

于是可在交错排列与反交错排列间建立双射，反交错排列$w$的个数为$2E_{n+1},$ 所以可得到
$2 E_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} E_{k} E_{n-k}, \quad n \geqslant 1.$
设$E_n$的指数型母函数为
$y=\sum_{n \geqslant 0}{E_n \frac{x^n}{n!}},$
并由初值条件$E_0=E_1=1,$

两边同乘以$\frac{x^n}{n!}$并对$n$从零到$\infty$求和，并应用指数型母函数的乘法公式，得到$2y'=y^2+1, \quad y(0)=1.$

$y=\tan (\frac x2+\frac \pi4)=\frac{1+\tan \frac x2}{1-\tan\frac x2}=\frac{1+\sin x}{\cos x}=\sec x+\tan x,$
故
$\sum_{n \geqslant 0}{E_n \frac{x^n}{n!}}=\sec x +\tan x.$
由于$\tan x$为奇函数而$\sec x$为偶函数，所以：
$\tan x=\sum_{n \geq 0} E_{2n+1} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1) !}$ $\sec x=\sum_{n \geq 0} E_{2n} \frac{x^{2n}}{(2n) !}$

综上可得：
$\begin{aligned} \sum_{n \geq 0} E_{n} \frac{x^{n}}{n !} &=\sec x+\tan x \\ &=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+2 \frac{x^{3}}{3 !}+5 \frac{x^{4}}{4 !}+16 \frac{x^{5}}{5 !}+61 \frac{x^{6}}{6 !}+\cdots. \end{aligned}$

总结

本文针对交错排列问题进行了分析，想要深入分析交错排列问题和 $Euler$