PDE双曲型方程数值解形式及例题分析

基本概念

差商

其中$h$为步长，$x_0$为待求点。

1. 前向差商
   $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f^{\prime}(x_0)+\frac h2f^{\prime\prime}(x_0)+\cdots$
2. 后向差商
   $\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}=f^{\prime}(x_0)-\frac h2f^{\prime\prime}(x_0)+\cdots$
3. 中心差商
   $\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f^{\prime}(x_0)+\frac {h^2}6 f^{\prime\prime\prime}(x_0)+\cdots$
   等价形式：
   $\frac{f(x_0+0.5h)-f(x_0-0.5h)}{h}=f^{\prime}(x_0)+\frac {h^2}{24}f^{\prime\prime\prime}(x_0)+\cdots$

一阶双曲型方程 ( 1 ) (1) (1)的几种差分格式

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0,\ -\infty<x<+\infty,\ 0<t<\Tau\\ & u(x,\ 0)=\varphi(x),\ -\infty<x<+\infty, \end{aligned}\right.\tag{1}$

1. 左偏心格式（左端第一项对$t$用前向差商，第二项对$x$用后向差商），其截断误差为$\mathcal{O}(\tau+h)$.
   $\frac{u_j^{k+1}-u_j^{k}}{\tau}+a\frac{u_{j}^k-u_{j-1}^k}{h}=0$
2. 右偏心格式（左端第一项对$t$用前向差商，第二项对$x$用前向差商），其截断误差为$\mathcal{O}(\tau+h)$.
   $\frac{u_j^{k+1}-u_j^{k}}{\tau}+a\frac{u_{j+1}^k-u_{j}^k}{h}=0$
3. 中心差分格式（左端第一项对$t$用前向差商，第二项对$x$用中心差商），其截断误差为$\mathcal{O}(\tau+h^2)$.
   $\frac{u_j^{k+1}-u_j^{k}}{\tau}+a\frac{u_{j+1}^k-u_{j-1}^k}{2h}=0$

其中 $j=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \cdots;\ k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4.$

一阶线性双曲型方程的差分格式例题及解答

例：

对初值问题$\frac{\partial u}{\partial t}+2\frac{\partial u}{\partial x}=0$，$u(x,\ 0)=\left\{ \begin{aligned} 2,\quad x<0,\\1,\quad x=0,\\ 0,\quad x>0, \end{aligned}\right.$试用左偏心格式计算其数值解 $u^k$，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,$取$\mathscr{\tau}/h=1/2$。

解答：

矩形网格剖分区域，取空间步长$h$，时间步长$\tau$的矩形网格剖分区域，用节点$(j,\ k)$表示坐标点$(x_j,\ t_k)=(jh,\ k\tau)$，$j=0,\ \pm1,\ \pm2,\ \cdots;\ k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4.$

根据上面的左偏心格式定义，可以得到：

$\frac{u_j^{k+1}-u_j^{k}}{\tau}+2\frac{u_{j}^k-u_{j-1}^k}{h}=0$

代入$\mathscr{\tau}/h=1/2$，得到如下的表达式：
$u_j^{k+1}=u_{j-1}^k$

由已知条件得：

$u_j^0= \left\{ \begin{aligned} 2,\quad j<0,\\ 1,\quad j=0,\\ 0,\quad j>0, \end{aligned}\right.$

最后可求得各点的值如下：

$u_j^1=u_{j-1}^0= \left\{ \begin{aligned} 2,\quad j<1 \\ 1,\quad j=1 \\ 0,\quad j>1 \end{aligned}\right.$

$u_j^2=u_{j-1}^1=u_{j-2}^0= \left\{ \begin{aligned} 2,\quad j<2 \\ 1,\quad j=2 \\ 0,\quad j>2 \end{aligned}\right.$

$u_j^3=u_{j-1}^2=u_{j-2}^1=u_{j-3}^0= \left\{ \begin{aligned} 2,\quad j<3 \\ 1,\quad j=3 \\ 0,\quad j>3 \end{aligned}\right.$

$u_j^4=u_{j-1}^3=u_{j-2}^2=u_{j-3}^1=u_{j-4}^0= \left\{ \begin{aligned} 2,\quad j<4 \\ 1,\quad j=4 \\ 0,\quad j>4 \end{aligned}\right.$

总结

此题求解需要掌握三种差商以及双曲型差分格式的推导，难点在于初值条件的处理。如果需要计算收敛阶则还要使用Taylor展开式。