（组合数学笔记）Pólya计数理论_Part.1_群的基本概念

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Pólya计数理论——问题引入

很多的计数问题都可以转化成一种组合计数模型，即集合$X$到集合$C$的映射计数问题。但由于$X$或者$C$上存在某种变换，使得有些映射在这些变换下是等价的。因此对于这类问题就是统计集合$C^X$中不等价映射的个数。

这里记：

集合$C$中的元素称为颜色，集合$C$称为颜色集；集合$X$中的元素称为对象，集合$X$称为对象集。

$C^X=\left\{ \varphi | \varphi:X \mapsto C \right\}$

于是集合$X$到集合$C$的映射计数问题可以看成是：用$C$中的颜色对$X$中的对象进行染色，求在某种变换意义下的不同染色方案数。

由于这部分计数问题需要群的概念作支撑，下面介绍一部分群论的知识（作为计数工具）。

关系——基本概念与性质

各类关系——定义及表示

二元关系：集合 X X X上的一个二元关系 R R R

• 空关系: 空集$\varnothing$
• 全关系: 全集$\Omega_X=X^2$
• 恒等关系:$I_X=\{(x,\ x)|x\in X\}$

等价关系:满足自反性、对称性、传递性。

• 自反性：对$\forall x\in X$,有$(x,\ x)\in R$;
• 对称性：若$(x,\ y)\in R$，则$(y,\ x)\in R$;
• 传递性：若$(x,\ y)\in R$且$(y,\ z)\in R$，则有$(x,\ z)\in R$。

全关系和恒等关系是等价关系，空关系不是等价关系。

表示

如果$(x,\ y)\in R$，则称$x$与$y$具有关系$R$, 记为$xRy$; 如果$(x,\ y)\notin R$，则称$x$与$y$不具有关系$R$, 记为$x\bar{R}y$.

若$R$是$X$上的等价关系，则$xRy$意味着$x$和$y$等价，又可记为$x\sim y$，反之，不等价记为$x\not\sim y$

等价类

设$\sim$是集合$X$上的一个等价关系，对于$x\in X$，令

$[x]_{\sim}=\{y|y\in X, \ x\sim y\}$

则称$[x]_{\sim}$是$X$上由等价关系$\sim$所确定的元素$x$所在的等价类。$x$所在的等价类又可简记为：$[x]$

关于等价类有如下定理：

定理

设$\sim$是集合$X$上的一个等价关系，则有:

1. $\forall x\in X$,有$x\in [x]$;
2. $\forall x,\ y\in X$, 或者$[x]=[y]$, 或者$[x]\bigcap[y]=\varnothing$;
3. $X=\bigcup_{x\in X}[x]$.

群——基本概念与性质

定义

设$G$是一个集合，$\circ$是集合$G$上的一个二元运算，如果满足：

1. $\forall a,\ b\in G$, 有$a\circ b\in G$;
2. $\forall a,\ b,\ c\in G$, 有$(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)$;
3. $\exists\ e \in G$, 使得对$\forall a\in G$有$a\circ e=e\circ a=a$;
4. $\forall a\in G$,$\exists b\in G$使得$a\circ b=b\circ a=e$.

则称$(G,\ \circ)$是一个群，有时也直接称$G$为一个群。

元素$e$称为群$G$的单位元，满足条件4的元素$b$称为元素$a$的逆元，记为$b=a^{-1}$.

相关概念

Abel群（交换群）

群$(G,\ \circ)$中的运算$\circ$可交换，即对于$\forall a, \ b\in G$，有$a\circ b=b\circ a$, 则称$(G,\ \circ)$是交换群或Abel群。

有限群&无限群

$G$是有限集，则称$(G,\ \circ)$为有限群；$G$是无限集，则称$(G,\ \circ)$为无限群。

群$(G,\ \circ)$的阶

集合$G$中的元素个数称为群$(G,\ \circ)$的阶。

群中元素$a$的整数幂运算

约定$a^0=e$（单位元），并对$n\in \mathbb{Z}^+$约定$a^{-n}=(a^{-1})^n$.

则有：$(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n=a^{-n},\ (a^n)^m=a^{nm}, \ a^na^m=a^{n+m}$.

群的零元素

设$(G,\ \circ)$是一个群，若$\exists z\in G$使得对$\forall a\in G$均有$az=za=z$,则称元素$z$为群$(G,\ \circ)$的零元素。

元素$a$的周期（阶）

对群$G$中某元素$a$，如果存在最小的正整数$r$，使得$a^r=e$，则称数$r$是元素$a$的周期或阶，记为$|a|=r$；若不存在这样的最小正整数，则称元素$a$没有周期（元素$a$的周期是无限的）。

显然，若$|a|=r$，则$a^{-1}=a^{r-1}$。

一些性质 & 定理

1. 零元若存在，则唯一；
2. $|G|>1$，则不存在零元；
3. 单位元唯一；
4. 任何元素的逆元唯一；
5. 多个元素运算的逆元：$(ab\cdots c)^{-1}=c^{-1}\cdots b^{-1}a^{-1},\ \forall a,\ b,\ \cdots,\ c\in G$;
6. 如果$ab=ac$, 则$b=c$; 如果$ba=ca$, 则$b=c$;
7. 方程$ax=b$和$ya=b$均在$G$中有唯一解;
8. 设$(G,\circ)$是一有限群，$|G|=n$，则对$\forall a\in G$，必存在最小正整数$r\leqslant n$使得$a^r=e$，其中$e$为$G$的单位元；
9. 设$a\in G,\ |a|=r$，则有: ①正整数$m$满足$a^m=e$， 当且仅当$r|m$; ②$|a|=|a^{-1}|$.

子群及其判定

定义

设$(G,\ \circ)$是一个群，$H$是$G$的子集，如果$H$在运算$\circ$下也是一个群，则称群$(H,\ \circ)$是群$(G,\ \circ)$的子群，简称$H$是$G$ 的子群，记作$H\leqslant G$.

判定定理1

$H$是$G$ 的非空子集，则$H$是$G$的子群 $\Leftrightarrow$ ①对$\forall a,\ b \in H \Rightarrow ab\in H$; （ $H$ 关于运算 $\circ$ 封闭）②对$\forall a\in H \Rightarrow a^{-1}\in H$。（$H$任何元素均存在逆元）

判定定理2

$H$是$G$ 的非空子集，则$H$是$G$的子群 $\Leftrightarrow$ 对$\forall a,\ b\in H$有$ab^{-1}\in H$.

判定定理3

$H$是$G$ 的非空子集，则$H$是$G$的子群 $\Leftrightarrow$ 对$\forall a,\ b\in H$有$ab\in H$.

判定定理4

$H$是$G$ 的非空子集，则$H$是$G$的子群 $\Leftrightarrow$ 对$\forall a,\ b\in H$,方程$ax=b$和$ya=b$在$H$中有唯一解。

循环群

设$(G,\ \circ)$是一个群，$a\in G$，令$H=\{a^k|k\in \mathbb{Z}\}$，则$H\leqslant G$，并称$H$是由$a$生成的子群，$a$称为$H$的生成元，记为$H=\lang a \rang$. 群$H=\lang a\rang$也成为循环群。

有限循环群中元素的周期性质

设$G$是一个群，$a\in G$，且$|a|=r$。令$H=\lang a\rang$是一个由$a$生成的$r$阶循环群，$H=\{e, \ a,\ a^2,\ \cdots,\ a^{r-1}\}$，则对满足$1\leqslant k\leqslant r-1$的任意正整数$k$有$|a^k|=r/d$，其中$d=\gcd{(k,\ r)}$.