定积分及其性质总结

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前言

本文介绍定积分(黎曼积分)的推导以及定积分的一些性质和定理。

定积分(Reimann积分)引入

定积分的定义

分割

设闭区间$[a,\,b]$上有$n-1$个点，依次为
$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n<b,$
这些分点把$[a,\,b]$分成$n$个小区间$\Delta_i=[x_{i-1},\,x_{i}],\,i=1,\,2,\,\cdots,\,n$.这些分点或这些闭子区间构成对$[a,\,b]$的一个分割，并记
$\|T\|=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\{\Delta{x_i}\},$
为分割$T$的模。(一称细度)

积分和(Reimann和)

设$f$是定义在$[a,\,b]$上的一个函数，对$[a,\,b]$的一个分割$T=\{\Delta_1,\,\Delta_2,\cdots,\,\Delta_n\}$, 任取点$\xi_i\in \Delta_i,\,i=1,\,2,\,\cdots,\,n$, 并作和式
$\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i,$
称此和式为函数$f$在$[a,\,b]$上的一个积分和(Reimann和)。

可积(Reimann可积)

设$f$是定义在$[a,\,b]$上的一个函数，$J$是一个确定的实数。若对$\forall\,\varepsilon>0$, $\exists\,\delta>0$, 使得对$[a,\,b]$的任何分割$T$, 以及在其上任意选取的点集$\{\xi_i\}$, 只要$\|T\|<\delta$, 就有
$\left|\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-J\right|<\varepsilon,$
则称函数$f$在区间$[a,\,b]$上可积或Reimann可积；数$J$称为$f$在$[a,\,b]$上的定积分或Reimann积分，记作
$J=\int\nolimits_{a}^bf(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\|T\|\to0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i.$
上面的描述对定积分进行了抽象的定义，可以说定积分是一种更为复杂的极限，因为每一个细度可能有多个积分和的值与之对应。

Newton-Leibniz公式

若函数$f$在$[a,\,b]$上连续，且$F'(x)=f(x),\,x\in[a,\,b]$, 则$f$在$[a,\,b]$上可积(可以不连续)，且有
$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_a^b.$

可积的条件

可积的必要条件

• 若函数$f$在$[a,\,b]$上可积，则$f$在$[a,\,b]$上必定有界。

可积的充分条件

• 若$f$为$[a,\,b]$上的连续函数，则$f$在$[a,\,b]$上可积；
• 若$f$是区间$[a,\,b]$上只有有限个间断点的有界函数，则$f$在$[a,\,b]$上可积；
• 若$f$为$[a,\,b]$上的单调函数，则$f$在$[a,\,b]$上可积(单调函数若有无限多个间断点，仍可积)。

可积的充要条件

定义：Darboux和

设$T=\{\Delta_i\ |\ i=1,2,\cdots,n\}$为对$[a,\,b]$的任一分割，由$f$在$[a,\,b]$上有界，它在每个$\Delta_i$上存在上、下确界：
$M_i=\sup_{x\in\Delta_i}f(x),\,m_i=\inf_{x\in\Delta_i}f(x),\,i=1,2,\cdots,n,$
作和
$S(T)=\sum\limits_{i=1}^nM_i\Delta x_i,\ s(T)=\sum\limits_{i=1}^nm_i\Delta x_i,$
分别称为关于分割$T$的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)。

任给$\xi_i\in\Delta_i,\ i=1,2,\cdots,n,$ 显然有
$s(T)\leqslant\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\leqslant S(T).$

• 与积分和相比，达布和只与分割$T$有关，与点集KaTeX parse error: Undefined control sequence: \x at position 3: \{\̲x̲_i\}无关。所以可以由上述不等式的讨论来进行对函数是否可积的分析。

可积准则

函数$f$在$[a,\,b]$上可积 $\iff\ \forall\ \varepsilon>0,\ \exists$相应的分割$T$，使得
$S(T)-s(T)<\varepsilon.$

⋆ \star ⋆可积准则

设$\omega_i=M_i-m_i$, 称为函数$f$在$\Delta_i$上的振幅，亦记为$\omega_i^f$.根据这一定义，可积准则也可以表示为

函数$f$在$[a,\,b]$上可积 $\iff\ \forall\ \varepsilon>0,\ \exists$相应的分割$T$，使得
$\sum_{T}\omega_i\Delta x_i<\varepsilon.$

定积分的基本性质

1. 线性性；
2. 若$f,\,g$在$[a,\,b]$上可积，则$f\cdot g$在$[a,\,b]$上可积;
3. 区间可加性(分区间可积则在全区间可积)；
4. 非负函数积分非负；
5. 积分的不等式性: 若两可积函数$f,\,g$满足$f(x)\leqslant g(x), \ x\in [a,\,b]$, 则有
   $\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leqslant\int_a^bg(x)\mathrm{d}x;$
6. 若$f$在$[a,\,b]$上可积，则$|f|$在$[a,\,b]$上可积, 且有：

$\biggl|\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\biggl|\leqslant\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x.$

积分中值定理

积分第一中值定理

若$f$在$[a,\,b]$连续，则至少存在一点$\xi\in[a,\,b]$, 使得
$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).$

推论

若$f,\,g$均在$[a,\,b]$上连续，且$g(x)$在$[a,\,b]$上不变号，则至少存在一点$\xi\in[a,\,b]$, 使得
$\int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d}x=f(\xi)\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$

变限积分

由定积分的性质(子区间可积则全区间可积)，可定义下面的变上限积分和变下限积分(统称为变限积分):
$\varPhi(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t,\quad x\in[a,\,b],\\ \varPsi(x)=\int_x^bf(t)\mathrm{d}t,\quad x\in[a,\,b].$

• 若$f$在$[a,\,b]$上可积，则$\varPhi(x)$在$[a,\,b]$上连续。

原函数存在定理(微积分学基本定理)

若$f$在$[a,\,b]$上连续，则$\varPhi(x)$在$[a,\,b]$上处处可导，且
$\varPhi'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t=f(x),\quad x\in[a,\,b].$

积分第二中值定理

设函数$f$在$[a,\,b]$上可积，

(i) 若函数$g$在$[a,\,b]$上减，且$g(x)\geqslant0$, 则存在$\xi\in[a,\,b]$, 使得
$\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a)\int_a^\xi f(x)\mathrm{d}x;$

(ii) 若函数$g$在$[a,\,b]$上增，且$g(x)\geqslant0$, 则存在$\eta\in[a,\,b]$, 使得
$\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=g(b)\int_\eta^b f(x)\mathrm{d}x.$

推论

若函数$f$在$[a,\,b]$上可积，若$g$为单调函数, 则存在$\xi\in[a,\,b]$, 使得
$\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a)\int_a^\xi f(x)\mathrm{d}x+g(b)\int_\xi^b f(x)\mathrm{d}x.$

定积分的一些应用

平面图形的面积

一般的平面图形可以由定积分公式的组合直接得到，下面主要讨论由参数方程、极坐标方程给出的平面图形的面积的计算。

参数方程

设曲线$C$由下述参数方程给出
$\begin{cases} x=x(t), \\ y=y(t), \end{cases} \quad t\in[\alpha,\,\beta],$
在$[\alpha,\,\beta]$上$y(t)$连续，$x(t)$连续可微且$x'(t)\neq0$. 记$a=x(\alpha),\,b=y(\beta)$($a<b$或$b<a$) 则此曲线与直线$x=a,\ y=b$以及$x$轴所围成的平面图形的面积为
$S=\int_\alpha^\beta|\,y(t)\,x'(t)\,|\,\mathrm{d}t.$

极坐标方程

设曲线$C$由下面的极坐标方程给出
$r=r(\theta),\,\theta\in[\alpha,\,\beta],$
其中$r(\theta)$在$[\alpha,\,\beta]$上连续，$\beta-\alpha\leqslant2\pi$.由曲线$C$与两射线$\theta=\alpha,\,\theta=\beta$所围成的平面图形，一称扇形。其面积为
$S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta.$

由平行截面面积求体积

设$A(x)$为截面面积函数，则一般的立体体积公式为
$V=\int_a^bA(x)\,\mathrm{d}x.$

旋转体的体积

旋转体$\varOmega$是由平面图形$0\leqslant|y|\leqslant|f(x)|,\ a\leqslant x\leqslant b$绕$x$轴旋转一周所得的旋转体，则其体积为
$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,\mathrm{d}x.$

旋转体$\varOmega$是由平面图形$0\leqslant|y|\leqslant|f(x)|,\ a\leqslant x\leqslant b$绕$y$轴旋转一周所得的旋转体，则其体积为
$V=2\pi\int_a^bx f(x) \,\mathrm{d}x.$

弧长与曲率

弧长

参数方程

设曲线$C$是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程
$\begin{cases} x=x(t), \\ y=y(t), \end{cases} \quad t\in[\alpha,\,\beta],$
给出。若$x(t)$与$y(t)$在$[\alpha,\,\beta]$上连续可微，则$C$是可求长的，且弧长为
$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.$

直角坐标方程

$y=f(x),\,x\in[a,\,b]$, 其弧长为
$s=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm{d}x.$

极坐标方程

$r=r(\theta),\,\theta\in[\alpha,\,\beta]$, 其弧长为
$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}\,\mathrm{d}\theta.$

曲率

设曲线$C$由参数方程
$\begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\end{cases}\quad t\in[\alpha,\,\beta],$
给出，其曲率为
$K=\frac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{\frac32}}.$
曲线$y=f(x)$的曲率为
$K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}.$

曲率圆的半径
$\rho=\frac1K.$