（组合数学笔记）Pólya计数理论_Part.5_Pólya定理

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Pólya定理

一般形式

设$X$是$n$元对象集，$C$是$m$元颜色集，用$C$中的颜色对$X$中的对象进行染色，则在$X$上的置换群$G$的作用下不同的染色方案数：

$|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\sigma\in G}|C|^{\lambda(\sigma)}=\frac1{|G|}\sum\limits_{\sigma\in G}m^{\lambda(\sigma)},$

其中$\lambda(\sigma)$是置换$\sigma$的循环分解式中循环的个数。

证明

由Burnside引理，不同染色方案数为

$|C^X/G|=|C^X/\overline{G}|=\frac{1}{|\overline{G}|}\sum\limits_{\overline{\sigma}\in \overline{G}}{\lambda_1(\bar{\sigma})}=\frac1{|G|}\sum\limits_{\overline{\sigma}\in \overline{G}}{\lambda_1(\bar{\sigma})},$

对$\forall x\in X$，有：

$\bar{\sigma}(\varphi)=\varphi\iff\varphi(\sigma^{-1}(x))=\varphi(x)\iff\varphi(x)=\varphi(\sigma(x)),$

所以

$|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\overline{\sigma}\in \overline{G}}|C|^{\lambda(\bar{\sigma})}=\frac1{|G|}\sum\limits_{\sigma\in G}m^{\lambda(\sigma)}.$

一些定义

图$H$的自同构

顶点集$V(H)$上的一个置换$\sigma$，且满足：

$\{u,\ v\}\in E(H)\Longrightarrow\{\sigma(u),\ \sigma(v)\}\in E(H).$

图$H$的自同构群

图$H$的所有自同构在置换合成运算$"\circ"$的意义下形成的群。记为$\mathcal{A}ut(H)$.

图$H_1$和$H_2$同构

如果两图$H_1$和$H_2$共享同样的顶点集$V$，且存在顶点集$V$上的一个置换$\sigma$使得

$\{u,\ v\}\in E(H_1)\iff \{\sigma(u),\ \sigma(v)\}\in E(H_2),$

则称图$H_1$和$H_2$同构。记为$H_1\cong H_2$

注：即使两个图的顶点集不同，但只要两个顶点集的大小相同，也可以定义同构的概念。

例题

1. 以$V=\mathbb{Z}_n^+$作为顶点集的简单无向图的个数，假定两个同构的图被视为同一个图。
   考虑以下的问题：

• 如何将图的问题看成染色方案问题？这样的图计数问题就是一个染色方案的计数问题。
• 颜色集$C$和染色对象集$X$分别是什么？
• 同构的图对应等价的染色方案，对象集$X$上的置换群$G$是什么？

考虑以$\mathbb{Z_n^+}$作为顶点集的完全图$K_n$，则每个以$\mathbb{Z_n^+}$作为顶点集的图均可以看成是从完全图$K_n$中去掉一些边得到的。

不妨设为黑白两色，则有：

$C=\{0,\ 1\},\quad X=E(K_n)=\{\bar{1},\ \bar{2},\ \cdots,\ \bar{m}\},\quad m=\binom{n}{2},$

下面考虑$X$上的置换群$G$：

对$\varphi_1,\ \varphi_2\in C^X$，$\varphi_1\stackrel{G}{\sim}\varphi_2$当且仅当$\exists \bar{\sigma}\in G$使得$\varphi_1(x)=\varphi_{2}(\bar{\sigma}(x)),\ x\in X$.

由Pólya定理，有：

$|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\bar{\sigma}\in G}2^{\lambda(\bar{\sigma})}.$

当顶点数$n=3$时，$\mathcal{A}ut(K_3)=\{\sigma_0,\ \sigma_1,\ \sigma_2,\ \sigma_3,\ \sigma_4,\ \sigma_5\}=\mathcal{S}_3$，并使其对应完全图$K_3$的边集$E(K_3)=\{\{2,\ 3\},\ \{1,\ 3\},\ \{1,\ 2\}\} \triangleq \{\bar{1},\ \bar{2},\ \bar{3}\}=X,$由$\mathcal{A}ut(K_3)$导出的$X$上的置换群$G=\{\bar{\sigma}_0,\ \bar{\sigma}_1,\ \bar{\sigma}_2,\ \bar{\sigma}_3,\ \bar{\sigma}_4,\ \bar{\sigma}_5\}$, 所以由Pólya定理，得

$|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{\bar{\sigma}\in G}2^{\lambda(\bar{\sigma})}=\frac16(2^3+2^2+2^2+2^2+2^1+2^1)=4.$

同理可得$n=4$时，$|C^X/G|=11$.

2. (Fermat小定理，组合证明) 设$p$为素数，则对于任意的正整数$a$有$p\ |\ a$，或者$p\ |\ a^{p-1}-1$.
   可以考虑$a$元集的手镯型$p$重复圆排列的计数问题（亦等价于：用$a$种颜色对正$p$边形的顶点进行染色，如果绕正$p$边形的中心作平面旋转重合的两种染色方案视为同一种染色方案，求不同的染色方案数）。
   设$X=\mathbb{Z}_p^+$是$p$边形的顶点集，$C=\mathbb{Z}_a^+$表示颜色集.绕正$p$边形的中心旋转有$p$种方式，分别是旋转$k\ \cdot\ \frac{360^{\circ}}{p},\ k=0,\ 1,\ \cdots,\ p-1$，且每个旋转都产生顶点集$X$上的一个置换，不妨设该置换为$\sigma_k$，则有（考虑循环移位）：
   $\begin{aligned} &\sigma_0=(1)(2)\cdots(p)\\ &\sigma_1=(123\cdots p)\\ &\sigma_2=(135\cdots p24\cdots\underline{p-1})\\ &\cdots\\ &\sigma_{p-1}=(1p\underline{p-1}\cdots32) \end{aligned}$

易知$G=\{\sigma_0,\ \sigma_1,\cdots,\ \sigma_{p-1}\}$是顶点集$X$上的置换群。由Pólya定理，得：
$|C^X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{{\sigma}\in G}a^{\lambda({\sigma})}=\frac 1p[a^p+(p-1)a]=a+\frac{a(a^{p-1}-1)}{p},$
由于$|C^X/G|$为整数，所以$p\ |\ a$或$p\ |\ a^{p-1}-1$成立，证毕。