Fibonacci数列整除性质的组合证明

写在前面

最近在看一本很开阔思路的书, 名为《组合证明的艺术(proof that really count: The art of combinatorial proof)》,中译版是机械工业出版社出版的, 里面有一些错漏的地方(如符号等), 建议大家中英文对照着看(如果有兴趣的话).

虽然是写给高中生的书, 但是对我来说还是很受启发, 不得不说组合证明实在是巧妙, 称为一门艺术也不足为奇. 下面主要对这样一个定理作组合意义上的证明 (直接利用通项公式也可证明,但是步骤要繁琐很多).

预备定义

1. Fibonacci数:$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}, (n\geqslant2),F_0=0,\,F_1=1$, $e.g.$
   $0,1,1,2,3,5,8,13,\dots$
2. 为方便后述定理, 这里用新记号$f_n$表示Fibonacci数, 有$f_n=F_{n+1},\, \forall n\geqslant -1$.
3. $n$-平铺: 对于一块长为$n$的地板, 使用长为1或2的砖块铺满整块地板, 所有满足条件的方法数为$f_n$(直接由尾部砖块为1或2即可得到递推关系$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$).
4. 可分隔(breakable): 一个$n$-平铺在$k$单位块可分隔, 即该平铺在第$k$个单位块处为方砖块(长度为1), 若该处是长度为2的砖块, 则不可分隔.

定理

对$m\geqslant1,n\geqslant0$, 如果$m\,|\,n$, 那么$f_{m-1}\,|\,f_{n-1}$, 事实上, 若$n=qm$, 则$f_{n-1}=f_{m-1}\sum_{j=1}^qf_{m-1}^{j-1}f_{n-jm}$.

组合证明

考虑这样一个问题

当$n=qm$时, 存在多少种$n-1$平铺?

第一种解答: 显然是$f_{n-1}$;

第二种解答:

考虑一个最小的$j$, 使得平铺在第$jm-1$单位块处可分隔, 这样的$j$显然存在且至多为$q$, 因为平铺在$n-1=qm-1$单位块处是可分隔的. 考虑下面三种不同位置上的平铺(如下图):

1. 给定一个$j$, 则有$j-1$块长度为2的砖块位于$m,2m,\dots,(j-1)m$单位块处(因为$jm-1$为最小的可分隔位置), 这些长度为2的砖块的平铺有$f_{m-2}^{j-1}$种方法;
2. 对于$(j-1)m+1$直到$jm-1$单位块, 有$f_{m-1}$种平铺方法(因为其长度为$jm-1-(j-1)m-1+1=m-1$);
3. 对于剩下的$n-jm$个单位块, 有$f_{n-jm}$种平铺方法.

综上, 我们得到了:
$f_{n-1}=f_{m-1}\sum_{j=1}^qf_{m-1}^{j-1}f_{n-jm}.$