常见函数的级数展开及推导

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最近做极限的题目，很多都要用到泰勒展开（麦克劳林展开），然而一些结论总是记不住，于是在这里总结一些常见的函数的展开式及推导过程，希望可以帮到大家。

定义式

函数$f(x)$在点$x_0$处展开(皮亚诺Peano余项)
$\begin{aligned} f(x) &=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)^2}{2!}(x-x_0)^2+\cdots\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n) \end{aligned}$

麦克劳林展开

下面为方便表示，都使用麦克劳林级数的形式（需要注意这样写要满足幂级数收敛条件即$-1<x< 1$）。

1. 指数函数的展开（利用定义式即可得到，并注意到$(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x$）：
   $\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$
2. 最基本的一个幂级数（由等比数列求和公式取极限得到）：
   $\frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots=\sum_{k=0}^\infty x^k$
   同理可得到
   $\frac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots=\sum_{k=0}^\infty (-1)^kx^k$
3. 对数函数的展开：
   $\begin{aligned} \ln(1+x) &=\int\frac1{1+x}\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}\\ &=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots \end{aligned}$
4. 三角函数的展开，利用定义即可得到（注意到正弦函数的偶阶导仍为正弦，所以其在原点处的值均为$0$）：
   $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
   上式求导即可得到：
   $\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$
   正切函数的展开式推导比较复杂，这里只列出前三项：
   $\tan(x)=x+\frac{x^3}3+\frac{2}{15}x^5+\cdots$
5. 二项式的展开：
   这个展开式比较复杂，但也是比较重要的（极限的计算、组合数学常用），因为这个就是牛顿广义二项式定理（其中对组合数进行了推广）。推导过程可以从幂级数的高阶导数入手，归纳即可得到下面的式子。
   $\begin{aligned} (y+x)^\alpha &=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}y^{\alpha-k}x^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!}y^{\alpha-k}x^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k !}y^{\alpha-k}x^{k} \end{aligned}$
   其中$\alpha\in\mathbb{R}$, $(\alpha)_k$代表$k$次下阶乘。
   上式中常取$y=1$，这时就有下面几个常用结论(主要推导过程需要借助牛顿二项式定理)：

1. $\begin{aligned}\sqrt{1+bx}&=1+\frac{b}2x-\frac{b^2}{8}x^2+\frac{b^3}{16}x^3-\cdots\\&=1+\frac b2x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}\sqrt{1-bx}&=1-\frac{b}2x-\frac{b^2}{8}x^2-\frac{b^3}{16}x^3-\frac{5b^4}{128}x^4-\cdots\\&=1-\frac b2x-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned}$
3. $\begin{aligned}\frac1{\sqrt{1+bx}}&=1-\frac b2 x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}b^2x^2-\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}b^3x^3+\cdots\\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned}$
4. $\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{1-bx}}&=1+\frac b2 x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}b^2x^2+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}b^3x^3+\cdots\\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned}$
5. $\begin{aligned} \frac1{(1+x)^2}&=\left(-\frac1{1+x}\right)^\prime =\left(\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k+1}x^k\right)^\prime\\ &=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}kx^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}(k+1)x^{k} \end{aligned}$

6. 反三角函数的展开式，可以由幂级数展开式积分直接得到。

• $y=\arctan(x)$：根据$y'=\dfrac1{1+x^2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^{2k}$，得到
  $\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$
• $y=\arcsin(x)$：根据$y'=(1-x^2)^{-\frac12}$，使用上面的二项式定理可得到
  $\begin{aligned} \arcsin x &=x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!(2k+1)}x^{2k+1} \\ &=x+\frac{x^3}{6}+\frac3{40}x^5+\frac{5}{112}x^7+\cdots \end{aligned}$

等价无穷小代换

根据上面的推导，很容易得到几个常见的等价无穷小替换。

1. $x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x \sim \arctan x\sim (\mathrm{e}^x-1)\sim\ln(1+x)$;
2. $(1- \cos x)\sim \dfrac{x^2}2$;
3. $\bigstar\ \ (1+bx)^{\alpha}-1\sim \alpha bx$;
4. $(x-\sin x)\sim\dfrac16x^3\sim(\arcsin x-x)$;
5. $(\tan x-x)\sim\dfrac13x^3\sim(x-\arctan x)$;
6. $(\tan x-\sin x)\sim\dfrac12x^3$;